2013年浙江省中考数学压轴题解析汇编

2013年浙江省各地市数学中考压轴题解析汇编

【2013·浙江宁波·26题】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（-4，0），点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD。过P、D、B三点作⊙Q与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于点F，连结EF，BF。 （1）求直线AB的函数解析式； （2）当点P在线段AB（不包括A，B两点）上时，①求证：∠BDE=∠ADP；②设DE=x，DF=y，请求出y关于x的函数解析式； （3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B、D、F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2：1？如果存在，求出此时点P的坐标：如果不存在，请说明理由。 解：（1）设直线

AB

的函数解析式为

y=kx+b，将点

A∵EF=DE=OE+OD=2+OD ∴OH=2+OD 13（0，4）、B（4，0）代

入

得

：

OD=2+OD=4

解得

点

D

坐

标

为

（

0

，）

∵OB=OH+HB=2+OD+

∴OD=

，

即

∴直线AB的函数解析式为y=-x+4 由

此可求得直线CD的解析式为y=x+ 33（2）① ∵B（4，0），C（-4，0） ∴OB=OC=4 联立直线AB解析式可求得，点P坐标为（2，2） ∴OD是BC的垂直平分线 ∴∠BDE=∠CDE ② 当BD∶BF=1∶2时，如图②。 ∵∠CDE=∠ADP(对顶角) ∴∠BDE=∠ADP 过点F作FH⊥x轴于H。 ② 连接EP。 与①同

理可证Rt△BHF∽Rt△DOB ∵∠BDE=∠BAD+∠DBP

则 ∴FH=8，HB=2OD ∠ADP=∠DPE+∠DEP，

且∠BDE=∠ADP OBODBD∴∠BAD+∠DBP=∠DPE+∠DEP 连接EB。与(2)同理可证得DE=EF ∵∠DBP=∠DEP ∴∠DPE=∠BAD ∵FH=OD+DE=OD+EF=OD+OH=OD+OB+HB

=OD+OB+2OD=3OD+OB ∵∠DPE=∠DFE ∴∠DFE=∠BAD

44∵OA=OB ∴∠BAD=∠OBA=45° ，即点D坐标为（0，-）

∴8=3OD+4，得OD=33∴∠DFE=45° 14由此可求得直线CD的解析式为y=-x- ∵DF是⊙Q的直径 ∴∠DEF=90° 33∴△DEF是等腰直角三角形 联立直线AB解析式可求得，点P坐标为（8，-4） 22∴DF=DE，即y=x 综上，存在满足题述条件的Rt△BDF，点P坐标（3）① 当BD∶BF=2∶1时，如图①。 为（2，2）或（8，-4） 过点F作FH⊥x轴于H，则∠BFH+∠FBH=90°

yyAA

∵DF是⊙Q的直径 ∴∠DBF=90° HBxC∴∠OBD+∠FBH=90°

PODD

∴∠OBD=∠FBH

BxPHCO

∴Rt△BHF∽Rt△DOB

FHHBBF11QQ∴ ∴FH=2，HB=OD OBODBD22FEEF易

证四边形OEFH是矩形 ∴OE=FH=2，EF=OH 图①图②

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【2013·浙江绍兴·24

题】抛物线

y=(x-3)(x+1)与x轴交于A、B两点

（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点D为顶点。 （1）求点B及点D的坐标； （2）连接BD，CD，抛物线的对称轴与x轴交于点E。 ① 若线段BD上一点P，使∠DCP=∠BDE，求点P

的坐标； ② 若抛物线上一点M，作MN⊥CD，交直线CD于点N，使∠CMN=∠BDE，求点M的坐标。 解：（1）由y=(x-3)(x+1)=0得，x=3或-1 322∴FM=FH=m，CH=m ∵点A在点B左侧 2∴点B坐标为（3，0） 222-∵y=(x-3)(x+1)=x2x-3=(x-1)-4 ∴OF=OC+CH-FH=3-m 2∴点D坐标为（1，-4） （2）① 取点C关于直线DE的对称点H，连接CH322∴点M坐标为（m，m-3）

22交DE于F，连接DH，延长CP交DH于Q，过点Q作

QK⊥DE于K。 72代入抛物线解析式，解得m=或0(舍去) 2易证，△CDH是等腰直角三角形，且CD= 9∵∠DCP=∠BDE ∴Rt△DCQ∽Rt△EDB

∴点

M

坐标为（，）

∴ 由EB=2，DE=4得DQ= EBDE2 (ii) 当MN⊥CD，

且点N在DC的延长线上时，连接MN交y轴于H，过点M作MF⊥y轴于F。 易证，△KDQ是等腰直角三角形

∴点Q坐标为（，） ∴KD=KQ=与(i)同理可得，点M坐标为（m，m-3）

则直线CQ的解析式为y= 32代入抛物线

解析式，解得m=5或0(舍去) 易得，直线BD的解析式为y=2x-6 ∴点M坐标为（5，12）

联立两式解得，点P坐标为（，）

故，点M坐标为（5，12）或（，） 39② 当点M在对

称轴左侧时，∠CMN=∠BDE＜45°，y则∠MCN＞45°，而对于抛物线左侧任意一点R，都有

FMy∠RCN＜45°，故点

M不在对称

轴左侧，而在右侧。 (i) 当MN⊥CD，且点N在线段CD上时，延长MN交y轴于H，过点M作MF⊥y轴于F。

xxOEOEABABH∵∠CMN=∠BDE ∴Rt△CMN∽Rt△BDE

CNMNFN

M∴，即

MN=2CN FEBDEHPCCNKQ连接BC，易证

BC⊥CD，∠OCB=45° DDH ∴△CNH、△MFH是等腰直角三角形 设CN=m，则MN=2m，HN=m，HM=3m

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【2013·浙江温州·24题】如图，在平面直角坐标系轴，直线AB与x轴、y轴分别交于点A（6，0）、B（0，8），点C的坐标为（0，m），过点C作CE⊥AB于点E，点D为x轴上一动点，连接CD、DE，以CD、DE为边作平行四边形CDEF。 （1）当0＜m＜8时，求CE的长（用含m的代数式表示）； （2）当m=3时，是否存在点D，使平行四边形CDEF的顶点F恰好落在y轴上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由； （3）点D在整个运动过程中，若存在唯一的位置，使得平行四边形CDEF为矩形，请求出所有满足条件的m

的值。 解：（1）∵CE⊥AB

∴∠BEC=∠BOA=90° 易证四边形ODPQ为矩形，则OQ=PD=PC

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∵∠CEB=∠ABO ∴m+(8-m)=(8-m)，得m=

∴△BEC∽△AOB ∴ ② 当m≥8时，OQ＞PC，不存在满足条件的m。 OAAB∵OA=6，OB=8，OC=m ③ 当m=0时，点C与点O重合，如图b，显然满足条件。 22OA

OB

∴AB==10，CB=8-m

④ 当m＜0，且点E与点A重合时，以CE为直3∴CE=(8-m) 径作⊙P必过点O，当点D与点O重合时，平行四边5形CDEF为矩形，如图c。 （2）存在。 ∵∠BAC=90°，AO⊥BC ∵m=3