安徽省宿州砀山县联考2019届中考数学(附加九套模拟)第一次模拟

（2）根据“总利润=每间客房的利润×入住客房数量﹣每间空置客房的支出×空置客房数量”列出函数解析式，配方成顶点式即可得出函数的最值． 【解答】解：（1）设y=kx+b，

将（200，90）、（240，70）代入，得：

，

解得：，

∴y=﹣x+190；

（2）设宾馆当日利润为W，

则W=（x﹣100）y﹣60（90﹣y）

=（x﹣100）（﹣x+190）﹣60[90﹣（﹣x+190）] =﹣x+210x﹣13000 =﹣（x﹣210）+9050，

∴当x=210时，W最大=9050，

答：当房价为210元时，宾馆当日利润最大，最大利润为9050元．

【点评】本题考查了二次函数的应用、待定系数法求函数解析式以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）根据数量关系找出w关于x的函数关系式．

25．（11分）已知四边形ABCD中，EF分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G． （1）如图1，若四边形ABCD是正方形，且DE⊥CF，求证：DE=CF； （2）如图2，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证：

=

；

2

2

（3）如图3，若四边形ABCD是平行四边形，当∠B=∠EGF时，第（2）问的结论是否成立？若成立给予证明；若不成立，请说明理由．

【分析】（1）由四边形ABCD为正方形，利用正方形的性质得到一对角为直角，相等，且AD=DC，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用AAS得到三角形ADE与三角形DCF全等，利用全等三角形对应边相等即可得证； （2）由四边形ABCD为矩形，得到一对直角相等，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用两对角相等的三角形相似得到三角形ADE与三角形DCF相似，利用相似三角形对应边成比例即可得证； （3）当∠B=∠EGF时，

=

成立，理由为：如图3，在AD的延长线上取点M，使CM=CF，利用平行线的性

质，以及同角的补角相等得到三角形ADE与三角形DCM相似，利用相似三角形对应边成比例即可得证． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A=∠ADC=90°，AD=DC， ∴∠ADE+∠AED=90°， ∵DE⊥CF，

∴∠ADE+∠CFD=90°，

∴∠AED=∠CFD， ∴△ADE≌△DCF， ∴DE=CF；

（2）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠ADC=90°， ∵DE⊥CF，

∴∠ADE+∠CFD=90°，∠DCF+∠CFD=90°， ∴∠ADE=∠DCF， ∴△ADE∽△DCF， ∴

=

；

=

成立，

（3）解：当∠B=∠EGF时，

证明：如图3，在AD的延长线上取点M，使CM=CF，

则∠CMF=∠CFM， ∵AB∥CD， ∴∠A=∠CDM， ∵AD∥BC，

∴∠B+∠A=180°， ∵∠B=∠EGF，

∴∠EGF+∠A=180°， ∴∠AED=∠CFM=∠CMF， ∴△ADE∽△DCM， ∴

=

，即

=

．

【点评】此题属于相似形综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，以及平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．

26．（13分）如图，在矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（6，0）．抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、C，与AB交于点D．

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ=CP，连接PQ，设CP=m，△CPQ的面积为S．

①求S关于m的函数表达式；

②当S最大时，在抛物线y=﹣x2+bx+c的对称轴l上，若存在点F，使△DFQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）将A、C两点坐标代入抛物线y=﹣x2+bx+c，即可求得抛物线的解析式； （2）①先用m表示出QE的长度，进而求出三角形的面积S关于m的函数； ②直接写出满足条件的F点的坐标即可，注意不要漏写． 【解答】解：（1）将A、C两点坐标代入抛物线，得

，

解得：，

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+8；

（2）①∵OA=8，OC=6， ∴AC=

=10，

=

=，

过点Q作QE⊥BC与E点，则sin∠ACB=∴

=，

∴QE=（10﹣m），

∴S=?CP?QE=m×（10﹣m）=﹣

②∵S=?CP?QE=m×（10﹣m）=﹣

m2+3m=﹣

（m﹣5）2+

，

m+3m；

2

∴当m=5时，S取最大值；

在抛物线对称轴l上存在点F，使△FDQ为直角三角形， ∵抛物线的解析式为y=﹣x2+x+8的对称轴为x=， D的坐标为（3，8），Q（3，4）， 当∠FDQ=90°时，F1（，8）， 当∠FQD=90°时，则F2（，4）， 当∠DFQ=90°时，设F（，n）， 则FD+FQ=DQ，

2

2

2

即+（8﹣n）2++（n﹣4）2=16， 解得：n=6±∴F3（，6+

，

），F4（，6﹣

），

满足条件的点F共有四个，坐标分别为 F1（，8），F2（，4），F3（，6+

），F4（，6﹣

）．

【点评】本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有抛物线的解析式的求法抛物线的最值等知识点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题．