[必做练习]高中数学第一章三角函数1.4三角函数的图象与性质1.4.2正弦函数余弦函数的性质互动课堂学案新人

最新人教版试题 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质

互动课堂

疏导引导 1.周期性

(1)周期函数:一般地,对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得定义域内的每一个x值,都满足f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期. (2)正弦函数的周期

从正弦线的变化规律可以看出,正弦函数是周期函数,2kπ(k∈Z且k≠0)是它的周期,最小正周期是2π.

正弦函数的周期也可由诱导公式sin(x+2kπ)=sinx(k∈Z)得到.由sin(x+2kπ)=sinx(k∈Z)可知当自变量x的值每增加或减少2π的整数倍时,正弦函数值重复出现,即正弦函数具有周期性,且周期为2kπ(k∈Z),最小正周期为2π.

类似地,可以探索余弦函数的周期为2kπ,最小正周期为2π. 2.奇偶性

(1)正弦函数y=sinx(x∈R)是奇函数,

①由诱导公式 sin(-x)=-sinx可知上述结论成立. ②反映在图象上,正弦曲线关于原点O对称.

③正弦曲线是中心对称图形,其所有对称中心为(kπ,0);正弦曲线也是轴对称图形,其所有对称轴方程为x=kπ+

?,k∈Z. 2(2)余弦函数的奇偶性与对称性

①奇偶性:由诱导公式知cos(-x)=cosx,可知余弦函数是偶函数,它的图象关于y轴对称. ②对称性:余弦曲线是中心对称图形,其所有的对称中心坐标是(kπ+线是轴对称图形,其所有的对称轴方程是x=kπ(k∈Z). 3.单调性

(1)正弦函数的单调性

在正弦函数的一个周期中,由正弦曲线可以看出,当x由-1;当x由x sinx ?,0)(k∈Z);余弦曲2??增加到时,sinx由-1增加到223??增大到时,sinx由1减小到-1,情况如下表:

22??- 0 22-1 0 1 π 0 3? 2-1 由正弦函数的周期性可知:

??+2kπ, +2kπ］(k∈Z)上,都从-1增大到1,223??是增函数;在每一个闭区间［+2kπ, +2kπ］(k∈Z)上,都从1减小到-1,是减函数.

22 正弦函数y=sinx在每一个闭区间［-(2)余弦函数的单调性

通过观察余弦函数的图象,可得余弦函数的单调性.余弦函数在每一个闭区间［2kπ,(2k+1)π］(k∈Z)上都是减函数,

部编本试题，欢迎下载！ 最新人教版试题 它的值由1减小到-1;在每一个闭区间［(2k+1)π,2(k+1)π］(k∈Z)上都是增函数,它的值由-1增大到1. 4.最值

从正弦函数、余弦函数的图象可以看出,它们的值域都为［-1,1］.对正弦函数来说,当x=2kπ+

?? (k∈Z)时,取得最大值1;当x=2kπ- (k∈Z)时,取得最小值-1. 22对余弦函数来说,当x=2kπ(k∈Z)时,取得最大值1;当x=2kπ+π(k∈Z)时,取得最小值-1.

活学巧用

1.求下列函数的周期:

1x?x;(2)y=2sin(-). 23611解析:(1)如果令m=x,则sinx=sinm是周期函数且周期为2π.

2211∴sin(x+2π)=sinx,

2211即sin［ (x+4π)］=sinx.

221∴y=sinx的周期是4π.

2x?x?(2)∵2sin(-+2π)=2sin(-),

36361?x?即2sin［(x+6π)-］=2sin(-),

3636x?∴2sin(-)的周期是6π.

36(1)y=sin

答案:(1)4π;(2)6π.

2

2.若函数f(x)是奇函数,当x＞0时,f(x)=x-sinx,当x＜0时,求f(x)的解析式. 解析:设x＜0,则-x＞0.

2

∵x＞0时,f(x)=x-sinx,

22

∴f(-x)=x-sin(-x)=x+sinx. 又∵f(x)为奇函数, ∴f(-x)=-f(x).

2

∴-f(x)=x+sinx.

2

∴f(x)=-x-sinx.

2

答案:f(x)=-x-sinx(x＜0).

?)图象的对称轴方程及对称中心坐标. 4k????解析:令2x+=kπ+ (k∈Z)得x=+(k∈Z),

2842k???令2x+=kπ(k∈Z)得x=- (k∈Z).

284k???∴函数y=sin(2x+)图象的对称轴方程为x=+ (k∈Z),对称中心坐标为

2483.写出函数y=sin(2x+

部编本试题，欢迎下载！ 最新人教版试题 k??-,0)(k∈Z). 28k??k??答案:对称轴方程x=+ (k∈Z),对称中心(-,0)(k∈Z).

2828?4.求y=cos(-x)的单调递增区间.

4????解析:函数y=cos(-x)=cos(x-),∴y=cos(-x)的单调递增区间就是y=cos(x-)的

4444?单调递增区间,由下式确定:2kπ-π≤x-≤2kπ,k∈Z.

43???∴2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z,即函数y=cos(-x)的单调递增区间是4443??［2kπ-,2kπ+］,k∈Z. 44(

5.若sinx=a-1有意义,则a的取值范围是____________________.

解析:∵|sinx|≤1,∴|a-1|≤1.∴-1≤a-1≤1.∴0≤a≤2. 答案:0≤a≤2

6.y=4cos2x,x∈R有最值吗?若有,请写出最大值、最小值的x的集合.

解析:函数y=4cos2x取最大值的集合为{x|2x=2kπ,k∈Z},即{x|x=kπ,k∈Z}. 同理,函数y=4cos2x取最小值的集合为{x|x=kπ+

?,k∈Z}. 2

部编本试题，欢迎下载！