曲线拟合的最小二乘法

本 科 学 年 论 文

题 目 曲线拟合的最小二乘法 院 别 数学与信息科学学院 专 业 信息与计算科学 指导教师 曾德强 评阅教师 班 级 09级4班 姓 名 刘奎 学 号 20090242015

2011年11月14日

内江师范学院本科学年论文

目 录

摘要 ................................................................................................................................................ I Abstract ....................................................................................................................................... I 1 引言........................................................................................................................................... 1 2 直线拟合 ................................................................................................................................ 1

2.1直线拟合的思想 ........................................................................................................... 1 2.2构造拟合曲线的三种准则......................................................................................... 1 2.3直述线拟合问题的数学描述 .................................................................................... 1

3 多项式拟合 ........................................................................................................................... 2

3.1多项式拟合思想 ........................................................................................................... 2 3.2正则方程的得出 ........................................................................................................... 2

4 曲线拟合的典例及分析 ................................................................................................ 2

4.1 直线拟合的最小二乘法实例 ................................................................................... 2 4.2关于多项式拟合的例题 ............................................................................................. 3

4.2.1问题分析 ............................................................................................................ 3 4.2.2问题求解 ............................................................................................................ 3 4.3曲线拟合在线性规划中的应用 ............................................................................... 6

5曲线拟合的最小二乘法的实际应用 ....................................................................... 7

5.1应用于数据采集 ........................................................................................................... 7

5.1.1情景再现 ............................................................................................................ 7 5.1.2具体处理 ............................................................................................................ 7 5.2应用于获取设备故障率 ............................................................................................. 7

结束语........................................................................................................................................... 8 参考文献 ..................................................................................................................................... 8 致谢 ................................................................................................................................................ 9 附录（程序代码） .............................................................................................................. 10

求解4.2代码 ..................................................................................................................... 10 求解4.3代码 ..................................................................................................................... 12

内江师范学院本科学年论文

摘要：在实际问题中，常常会需要从一组数据中筛选出对自己有用的部分．这样的问

题可转化为寻找一种函数曲线去拟合这些数据．在解决这类问题的数据处理和误差分析中应用较为广泛的是曲线拟合的最小二乘法，它不但可以提高数据处理效率，而且还能保证相当的精确度，进而成为解决某些数据处理问题的较为有用的方法．

关键词：曲线拟合；最小二乘法；数据处理

Abstract: In the actual problem, often need to a set of data from were studied in the part of

use. This problem can be converted into the search for a function curve fitting to the data. In solving the problem of data processing and the error analysis of the application in a wide range of curve fitting is the least square method, it can not only improve the data processing efficiency, but also can ensure the accuracy of the quite, then become solve some problems of data processing are useful method.

Key words: curve fitting；method of the minimum squares；data processing

I

内江师范学院本科学年论文

1 引言

曲线拟合又称作函数逼近，是求近似函数的一类数值方法．它不要求近似函数在每个节点处与函数值相同，只要求其尽可能的反映给定数据点的基本趋势以及某种意义上的无限“逼近”．在需要对一组数据进行处理、筛选时，我们往往会选择合理的数值方法，而曲线拟合在实际应用中也倍受青睐．采用曲线拟合处理数据时，一般会考虑到误差的影响，于是我们往往基于残差的平方和最小的准则选取拟合曲线的方法，这便是经常所说的曲线拟合的最小二乘法．通过对一些文献的分析和整理，可以了解到曲线拟合的最小二乘法的应用领域较为广泛；不仅有数据处理（数据采集），还有模型建立，甚至在获取设备故障率方面都有涉及．

2 直线拟合

2.1直线拟合的思想

假设所给数据点(xi,yi)，i?1,2,?,N的分布大致成一直线y?a?bx，该直线即为拟合直线，尽管不能保证所有的点都在直线上，但总是希望这些点都尽可能地位于该直线附近，也就是要求yi?a?bxi，i?1,2,?,N近似地成立．当然，数据点的数目往往远远超过待定和数目，即N?2,那么，拟合直线的构造本质上是一个解矛盾方程组的代数问题：

?i?a?bxi，i?1,2,?,N表示按拟合直线y?a?bx求得的近似值，它一般不同于实设 y?i就是大家熟知的残差．测值yi，两者之间的差值ei?yi?y分析可得残差的大小是衡量拟合好坏的重要标志．

2.2构造拟合曲线的三种准则

通常我们构造拟合曲线有3种准则可供选择，具体内容如下：

1) 残差的最大绝对值最小，具体表示为：maxei?min

i2) 残差的绝对值之和最小，表示为：?ei?min

i3) 残差的平方和最小，体现为：?ei2?min

i根据三种准则的具体形式，可以分析出前两种比较简单，而二者都含有绝对值运算，实

［6］际应用中不便于操作；基于第三种准则构造的拟合曲线的方法便是曲线拟合的最小二乘法．

2.3直述线拟合问题的数学描述

有了上述的准则3，下面对直线拟合问题用数学语言描述[1]： 对于给定的数据点(xi,yi)，i?1,2,?,N，

求直线y?a?bx使得总误差Q??[yi?(a?bxi)]2最小．

i?1N这个问题求解过程不难，由微积分是求极限的方法可知，为使Q达到极值，参数a，b

1