2019届高考数学二轮复习专题四三角函数向量与解三角形第4讲平面向量数量积课时训练

第4讲 平面向量数量积

1.已知a＝(2，1)，b＝(1，－3)，若c＝a＋2b，d＝2a－xb，且c∥d，则x＝________． 答案：－4

解析：c＝(4，－5)，d＝(4－x，2＋3x)．因为c∥d，所以4(2＋3x)＋5(4－x)＝0，解得x＝－4.

2. 已知两个平面向量a，b满足|a|＝1，|a－2b|＝21，且a与b的夹角为120°，则|b|＝________．

答案：2

222

解析：|a－2b|＝21?a－4a·b＋4b＝21?1＋2|b|＋4|b|＝21?|b|＝2(负值舍去)．

3. 已知向量a，b，其中|a|＝2，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则向量a和b的夹角是________．

π答案： 4解析：设向量a和b的夹角为θ.由题意知(a－b)·a＝a－a·b＝0，∴ 2－22cos θ

2π

＝0，解得cos θ＝，∴θ＝.

2

44. (2018·合肥二检)设向量a，b满足|a＋b|＝4，a·b＝1，则|a－b|＝________． 答案：23

22

解析：由|a＋b|＝4两边平方可得|a|＋|b|＝16－2a·b＝14，则|a－b|＝|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝12＝23.

→→→5. 在边长为1的等边△ABC中，设BC＝a，CA＝b，AB＝c，则a·b＋b·c＋c·a＝

答案：－

2________．

32326. (2017·无锡期末)已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－1)，若a－b与ma＋b垂直，则实数m的值为________．

1答案： 4解析：根据向量a，b的坐标可得a－b＝(1，2)，ma＋b＝(2m＋1，m－1)．因为(a－b)⊥(ma1＋b)，所以(a－b)·(ma＋b)＝1×(2m＋1)＋2×(m－1)＝4m－1＝0，故m＝.

4→→7. (2018·淮安期中)在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠ABC＝60°，则AB·AC＝

解析：依题意有a·b＋b·c＋c·a＝?－?＋?－?＋?－?＝－.

222________．

答案：3

解析：由四边形ABCD为平行四边形得AC＝AB＋AD，所以AB·AC＝AB·(AB＋AD)＝AB·AB＋AB·AD＝4＋2×1×cos 120°＝3.

8. (2018·如东中学)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，CP＝3PD，AP·BP＝2，则AB·AD的值是________．

?1??1??1???????→→→→→→→→→→→→→→→→→→答案：22

→→→→1→→→→→3→→3→4441→→3→→?→1→??→3→?→21→→3→2

所以AP·BP＝?AD＋AB?·?AD－AB?＝AD－AD·AB－AB，即2＝25－AD·AB－×

4??4?216216?→→64，解得AB·AD＝22.

9. (2018·苏州一调)如图，△ABC为等腰三角形，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，以A为

︵→→圆心，1为半径的圆分别交AB，AC于点E，F，点P是劣弧EF上的一点，则PB·PC的取值范

解析：由题意知AP＝AD＋DP＝AD＋AB，BP＝BC＋CP＝BC＋CD＝AD－AB， 围是________．

答案：[－11，－9]

解析：以A为原点，分别以BC的中垂线和平行线为y轴、x轴建立直角坐标系，由∠BAC

→＝1，可设P(cos ＝120°，AB＝AC＝4，可得B(－23，－2)，C(23，－2)．因为APα，

||7π11π1→→≤α≤，－1≤sin α≤－，则PB?PC＝－7＋4sin α∈[－11，－9]．662→→10. 在平面直角坐标系xOy中，动点P关于x轴的对称点为Q，且OP·OQ＝2，已知点A(－

→→2

2，0)，B(2，0)，则(|PA|－|PB|)＝________．

sin α)，

答案：8

解析：设P(x0，y0)，则Q(x0，－y0)，所以OP·OQ＝(x0，y0)·(x0，－y0)＝2，即y20＝x20－2，得x0≥2或x0≤－2，故(|PA|－|PB|)＝(2x20＋4x0＋2－2x20－4x0＋2)＝2(|x0＋

22

1|－|x0－1|)＝2×2＝8.11. 已知向量a＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b＝(1，2)．(1)

若a∥b，求tan θ的值；

11. 已知向量a＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b＝(1，2)．

(1)若a∥b，求tan θ的值；

(2)若|a|＝|b|，0＜θ＜π，求θ的值．

解：(1)因为a∥b，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ，

于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝.2

2

→→2

→→2

14(2)由|a|＝|b|知sinθ＋(cos θ－2sin θ)＝5，

2

所以1－2sin 2θ＋4sinθ＝5， 从而－2sin 2θ＋2(1－cos 2θ)＝4，

即sin 2θ＋cos 2θ＝－1，

π2 于是sin(2θ＋)＝－.424π5ππ7π

所以2θ＋＝或2θ＋＝，

4444π3π

因此θ＝或θ＝.241312. 设在平面上有两个向量a＝(cos α，sin α)(0°≤α＜360°)，b＝(－，)，

22 且a，b不共线．

(1)求证：向量a＋b与a－b垂直；

(2)当向量3a＋b与a－3b的模相等时，求α的大小．

ππ9π

又由0＜θ＜π知，＜2θ＋＜，44