初一数学奥赛试题期中期末

某初级中学2014年七年级数学竞赛

11.数1000?0001是 ▲ （选填“质数”或“合数”）。 12.已知abc＝1，则

2003个0

试题卷

姓名：＿＿＿＿＿＿＿＿ 准考证号：＿＿＿＿＿＿＿＿

1.请在认真阅读粘贴于考场的《某初级中学2014年七年级数学竞赛考生须知》后答题！ 2.所有答案只有按规定填写在答题卡相应的区域才有效。 3.考试结束指令发出后，请立即停笔，并上交答题卡、试题卷和草稿纸，然后离开考场。 abc

＋ ＋ ＝ ▲ 。

ab＋a＋1bc＋b＋1ca＋c＋1

13.已知x＝2003，y＝2004，z＝2005，则x2＋y2＋z2－xy－yz－zx＝ ▲ 。 14.已知a＋b＝1，则a3＋b3－3ab＝ ▲ 。 15.已知a＋b＝1，a2＋b2＝2，则a5＋b5＝ ▲ 。

16.已知a2＋ab＋b2＝0，a2＋ac＋c2＝0，b≠c，则b2＋bc＋c2＝ ▲ 。 17.多项式x12－x6＋1除以x2－1的余式是 ▲ 。

18.已知x2＋x－1＝0，则21x4－28x3－70x2＋49x＋1＝ ▲ 。 19.x83＋x71－x55＋x31＋x3＋5被x－1除所得的余数是 ▲ 。 1111

20.（1－2 ）（1－2 ）（1－2 ）?（1－2 ）＝ ▲ 。

2341021.多项式2x2－4xy＋5y2－12y＋13的最小值是 ▲ 。

22.已知关于x的方程│2x＋3│＋m＝0无解，│3x－4│＋n＝0有一个解， │4x－5│＋k＝0有两个解，则m、n、k的大小关系是 ▲ （用“＞”连接）。 23.已知关于x的方程││x－1│－2│＝a有三个整数解，则a＝ ▲ 。 24.已知n是自然数，［x］表示不超过x的最大整数，则关于x的方程 x＋2［x］＋3［x］＋?＋n［x］＝（1＋2＋3＋?＋n）2的解是是 ▲ 。 25.已知关于x的方程a（2x－1）＝3x＋2无解，则a＝ ▲ 。

二、解答题

111

26.（5分）计算：1＋ ＋ ＋?＋

1＋21＋2＋31＋2＋3＋?＋100

x－b－cx－c－ax－a－b111

27.（5分）解方程a ＋b ＋ ＝3，其中a ＋b ＋c ≠0。 c

一、填空题

01.如果4个不同的正整数m、n、p、q满足（7－m）（7－n）（7－p）（7－q）＝4，那么m＋n＋p＋q＝ ▲ 。

xyz

02.已知 ＝ ＝ 且3x－2y＋z＝18，则x＋5y－3z＝ ▲ 。

3453x＋y－6

03.已知x－2y＝2，则 ＝ ▲ 。

4x－y－8111

04.已知a＋b ＝1，b＋c ＝1，则c＋a ＝ ▲ 。

05.如图1，将面积为a2的小正方形与面积为b2的大正方形放在一起（0＜a＜b），用a、b表示△ABC的面积为 ▲ 。

06.能够使不等式（│x│－x）（1＋x）＞0成立的x的取值范围是 ▲ 。 1107.不等式3x＋1＋ ＞ ＋5x－2的解集是 ▲ 。

x＋2x＋2

4

08.已知a、b为有理数，不等式（2a－b）x＋3a－4b＜0的解是x＞ ，则不等式

9（a－4b）x＋2a－3b＞0的解是 ▲ 。

6

09.已知（x2－x＋1）＝a12x12＋a11x11＋a10x10＋a9x9＋?＋a2x2＋a1x＋a0，则a11＋a10＋a9＋?

＋a2＋a1＝ ▲ 。

113

10.已知y、z均为质数，且x＝yz，且x、y、z满足x ＋y ＝z ，则10x＋5y＋3z＝ ▲ 。

28.（5分）解方程组 │x－1│＋│y－2│＝6 │x－1│＝2y－4

29.（5分）解方程组 xy＋x

x＋y＋1 ＝2

xz＋2x

x＋z＋2 ＝3

（y＋1）（z＋2）

y＋z＋3 ＝4

30.（5分）解关于x的不等式组 3mx－6＜5－mx

mx＋x＞（1－2mx）＋8

31.（10分）三个口袋里，一个口袋装有两个红球，一个口袋装有两个白球，一个口袋装一

红一白两个球，但口袋外面贴的标签都是错的。请你设计一个方案（或一种情况），只从一

个口袋（标签自定）里一个球（球的颜色自定），说明三个口袋里球的颜色，并说明理由。

32.（10分）“百钱买百鸡”问题是我国自古以来一道有名的数学问题。题目的意思是：今

有公鸡每只5个钱，母鸡每只3个钱，小鸡每3只1个钱，用100个钱买100只鸡，求其中

公鸡、母鸡、小鸡各有几只。

33.（10分）已知△ABC的三边分别为a、b、c，且bca

a ＋b ＋c ＝3，试判断△ABC的形状，并说明理由。

34.（10分）小张骑自行车行驶在双轨铁路旁的公路上，他注意到，每隔12分钟有一列火车从后面追上他，每隔4分钟有一列火车迎面驶来。如果火车发出的间隔时间与速度以及

小张骑车的速度都是均匀的，并且所有火车的速度相等。求每隔几分钟，小张前方和后方火车站都有一列火车开出。

35.（10分）某水库共有6个相同的泄洪闸，在上游无洪水注入的情况下，打开一个水闸泄洪使水库水位以am/h匀速下降，某汛期上游的洪水在未开泄洪闸的情况下使水位以bm/h匀速上升，当水库水位超警戒线hm时开始泄洪。

①（3分）如果打开n个水闸泄洪xh，写出表示此时相对于警戒线的水面高度的代数式； ②（7分）经考察测算，如果只打开一个泄洪闸，则需30h水位才能降至警戒线；如果同时打开两个泄洪闸，则需10h水位才能降至警戒线。试说明该水库能否在3h内使水位才能降

至警戒线。

某初级中学2014年七年级数学竞赛 参考答案

一、填空题 （01）28

（02）24

（03）1

（04）1

（06）－1＜x＜0 （07）x＜3

2 且x≠－2

（08）x＞－1

4 （10）125 （11）合数 （12）1 （13）3 （15）

194

（16）0 （17）1

（18）1

（20）11

20 （21）1 （22）m＞n＞k （23）2 （25）3

2

二、解答题

（26）解：原式＝1＋2（12 －13 ＋13 －14 ＋?＋1100 －1

101 ）

＝1＋2（12 －1

101 ）

＝2－2

101

＝200

101

（27）解：将原方程左端每一项都减1，得

x－b－c－ax－b－c－axa ＋b ＋－b－c－a

c

＝0 （x－a－b－c）（111a ＋b ＋c ）＝0

∵111

a ＋b ＋c ≠0 ∴x－a－b－c＝0，即x＝a＋b＋c

（05）0.5b2

（09）－364

（14）1 （19）8 （24）n2＋n

2

（28）解：由│x－1│＝2y－4＝2（y－2）≥0知y≥0 ∴由│x－1│＋│y－2│＝6得2y－4＋y－2＝6 ∴y＝4 ∴│x－1│＝4

∴x＝5或x＝－3

原方程组的解为 x1＝5 x2＝－3

y1＝4 y2＝4

（29）解：方程组中各方程先取倒数，得

x＋y＋1x（x＋1） ＝12 111y＋1 ＋x ＝2

x＋z＋2x（z＋2） ＝13 裂项，得 111

x ＋z＋2 ＝3 y＋z＋31111（y＋1）（z＋2） ＝4 z＋2 ＋y＋1 ＝4

设1 ＝A，1y＋1 ＝B，1

xz＋2

＝C

A＋B＝12 A＝724

24 x＝7 则有 A＋C＝13 解得 B＝524 ∴原方程组的解是 y＝19

5 B＋C＝14 C＝1

24 z＝22

（30）解：原不等式等价于 4mx＜11

3mx＞8

当m＞0时，不等式组的解为83m ＜x＜11

4m ；

当m＝0时，不等式组的解为空集，即无解； 当m＜0时，不等式组的解为

114m ＜x＜8

3m

。

（31）参考方案：从贴有一红一白标签的口袋里取出一球，假设是白球。因为口袋外面贴的标签都是错的，所以这个口袋里的球是两个白球，贴红标签的口袋里必是一红一白，否则，若是两红球就与标签贴错相矛盾，贴两白标签的口袋里必是两个红球。 （32）解：设公鸡、母鸡、小鸡各买了x、y、（100－x－y）只，由题意可知：

5x＋3y＋1

3

（100－x－y）＝100

化简整理，得7x＋4y＝100，因为7与4的最大公约数是1，而1能整除100，故原方程有整数解。由观察可知，当x＝0时，y＝25。故x＝0，y＝25是原方程的一组整数解，因此原方程的所有整数解为x＝－4k，y＝25＋7k（k为任意整数）。因为x，y是正整数，所以－4k＞0且25＋7k＞0，解得－25

7

＜k＜0，因为k为整数，所以k＝－3，k＝－2，

k＝－1。分别代入通解式中，得原方程的正整数解为x1＝12，y1＝4；x2＝8，y2＝11；x3＝4，y3＝18。当x＝12，y＝4时100－x－y＝84，当x＝8，y＝11时100－x－y＝81，当x＝4，y＝18时100－x－y＝78。

答：12只公鸡，4只母鸡，84只小鸡；或8只公鸡，11只母鸡，81只小鸡；或4只公鸡，18只母鸡，78只小鸡。

（33）解：设bca ＝m3，b ＝n3

，ac ＝k3 则m3＋n3＋k3＝3 ∵b·ca

a b ·c ＝m3n3k3＝1 ∴mnk＝1 ①

∵（m＋n＋k）（m2＋n2＋k2－mn－nk－mk）＝m3＋n3＋k3－3mnk，且m＋n＋k≠0 ∴m2＋n2＋k2－mn－nk－mk＝0 ∴m＝n＝k ② 由①、②得m＝n＝k＝1 ∴a＝b＝c ∴△ABC是等边三角形。

（34）解：设每隔x分钟小张的小张前方和后方火车站都有一列火车开出，再设火车的速度为u，小张骑车的速度为v，火车间相同的间隔距离为s，则迎面驶来的火车相对于小张的速度为（u＋v），后面驶来的火车相对于小张的速度为（u－v）。

则 su－v ＝12 ①， su＋v ＝4 ②，x＝s

u ③

由①、②得，u－v＝1

u＋v1u－vu12 ， 4 ∴＋v1s s ＝s ＋ s ＝3

∴s

u ＝6 即x＝6

答：每隔6分钟，小张前方和后方火车站都有一列火车开出。 （35）解：①表示此时相对于警戒线的水面高度的代数式为

（b－na）x＋h

② 30（b－a）x＋h＝0 解得： a＝2b 10（b－2a）x＋h＝0 h＝30b 若6个水闸同时打开，3h后相对于警戒线的水面高度为

（b－na）x＋h＝（b－12b）×3＋30b＝－3b（b＞0）故该水库能在3h内使水位才能降至警戒线。