《复变函数和积分变换》期末考试试题（卷）与答案解析[1]

一．填空题（每小题3分，共计15分）

1．

1?i32的幅角是（??3； ?2k?,k?0,?1,?2?）

2.

Ln(?1?i)的主值是（

13?ln2?i ）； 241(5)f(0)?（ 0 ）3. f(z)?，， 21?zz?sinz4．z?0是 的（ 一级 ）极点；

z45．

1f(z)?，Res[f(z),?]?（-1 ）；

z二．选择题（每题4分，共24分） 1．解析函数

； f(z)?u(x,y)?iv(x,y)的导函数为（B ）

（A） （C）

f?(z)?ux?iuy； （B）f?(z)?ux?iuy；

f?(z)?ux?ivy； （D）f?(z)?uy?ivx.

，则?f(z)dz?0． z?3，如果函数f(z)?（ D ）

C2．C是正向圆周

（A）

3(z?1)33(z?1)； （B）； （C）

(z?2)2z?2z?2； （D）

3(z?2)2.

3．如果级数

?cn?1?nzn在

z?2点收敛，则级数在（C）

（A）（C）

z??2点条件收敛 ； （B）z?2i点绝对收敛；

z?1?i点绝对收敛； （D）z?1?2i点一定发散．

４．下列结论正确的是( B )

（A）如果函数

f(z)在z0点可导，则f(z)在z0点一定解析；

(B) 如果

f(z)在C所围成的区域内解析，则

?Cf(z)dz?0

（C）如果（D）函数

?Cf(z)dz?0，则函数f(z)在C所围成的区域内一定解析；

f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在区域内解析的充分必要条件是u(x,y)、v(x,y)在该区域内均为调和函数．

5．下列结论不正确的是（ D ）．

1(A)、?为sin的可去奇点；(B)、?为sinz的本性奇点；

z(C)、?为的孤立奇点.(D)、?为1的孤立奇点； 1sinzsinz1三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分）

（1）．设解：因为

f(z)?x2?axy?by2?i(cx2?dxy?y2)是解析函数，求a,b,c,d.

f(z)解析，由C-R条件

?u?v?u?v??? ?x?y?y?x2x?ay?dx?2yax?2by??2cx?dy,

a?2,d?2,，a??2c,2b??d,c??1,b??1,

给出C-R条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。

ezdz其中C是正向圆周： （2）．计算?C(z?1)2z解：本题可以用柯西公式\\柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，仅给出用前者计算过程

因为函数

ez在复平面内只有两个奇点z1?0,z2?1，分别以z1,z2为圆心画互不f(z)?2(z?1)z互

不

包

含

的

小

圆

相交

c1,c2且位于c内

ez?C(z?1)2zdz??C1ezez(z?1)2zdzdz?? 2C2z(z?1)?2?i

z?0ezez?2?i()??2?izz?1(z?1)2无论采用那种方法给出公式至少给一半分，其他酌情给分。

z15（3）．

?z?3(1?z2)2(2?z4)3dz

解：设

f(z)在有限复平面内所有奇点均在：z?3内，由留数定理

z15?z?3(1?z2)2(2?z4)3dz??2?iRes[f(z),?] -----（5分） 11?2?iRes[f()2] ----（8分）

zz1()15111z f()2?211zzz(1?2)2(2?()4)3zz111f()2?有唯一的孤立奇点z?0, zzz(1?z2)2(2z4?1)311111Res[f()2,0]?limzf()2?lim?1 2243zzzzz?0z?0(1?z)(2z?1)z15??dz?2?i --------（10分）

z?3(1?z2)2(2?z4)3（4）函数

z(z2?1)(z?2)32f(z)?(z?3)在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，

(sin?z)3请指出它的级. 解

：

z(z2?1)(z?2)3(z?3)2f(z)?的奇点为z?k,k?0,?1,?2,?3,?，?3(sin?z)（1）

3z?k,k?0,?1,?2,?3,?为（sin?z）?0的三级零点，

（2）（3）（4）（5）

z?0，z??1,为f(z)的二级极点，z??2是f(z)的可去奇点， z?3为f(z)的一级极点，

z?2,?3,?4?，为f(z)的三级极点； ?为f(z)的非孤立奇点。

备注：给出全部奇点给5分 ，其他酌情给分。

四、（本题14分）将函数

f(z)?1在以下区域内展开成罗朗级数；

z2(z?1)（1）0?解：（1）当0?（2）0?z?1，（3）1?z?? z?1?1，

z?1?1

111f(z)?2??[]?

z(z?1)(z?1)(z?1?1)?1nn?[]?[(?1)(z?1)]? 而?(z?1?1)n?0??(?1)nn(z?1)n?1

n?0?f(z)??(?1)n?1n(z?1)n?2 -------6分

n?0?（2）当0?z?1

111?f(z)?2??2=

z2z(z?1)z(1?z)??zn?0?n

???zn?2 -------10分

n?0（3）当1?z??

11f(z)?2?z(z?1)z3(1?1)

z