2016届高考数学一轮复习 题组层级快练15(含解析)

题组层级快练(十五)

1．y＝ln(－x)的导函数为( ) 1

A．y′＝－

1

B．y′＝

xxC．y′＝ln(x) 答案 B

D．y′＝－ln(－x)

2．若曲线y＝x在点P处的切线的斜率为3，则点P的坐标为( ) A．(－1,1)

C．(1,1)或(－1，－1) 答案 C

解析 y′＝3x，∴3x＝3.∴x＝±1. 当x＝1时，y＝1，当x＝－1时，y＝－1.

3．已知函数y＝xlnx，则这个函数在点x＝1处的切线方程是( ) A．y＝2x－2 C．y＝x－1 答案 C

解析 ∵y′＝lnx＋1，∴x＝1时，y′|x＝1＝1. ∵x＝1时，y＝0，∴切线方程为y＝x－1.

4．(2015·济宁模拟)已知f(x)＝x(2 014＋lnx)，f′(x0)＝2 015，则x0＝( ) A．e C．ln2 答案 B

1

解析 由题意可知f′(x)＝2 014＋lnx＋x·＝2 015＋lnx.由f′(x0)＝2 015，得lnx0＝0，解得

2

2

2

3

B．(－1，－1) D．(1，－1)

B．y＝2x＋2 D．y＝x＋1

B．1 D．e

xx0＝1.

5．若函数f(x)＝ax＋bx＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于( ) A．－1 C．2 答案 B

解析 f′(x)＝4ax＋2bx，

∵f′(x)为奇函数且f′(1)＝2，∴f′(－1)＝－2.

6．若函数f(x)＝x＋bx＋c的图像的顶点在第四象限，则函数f′(x)的图像是( )

234

2

B．－2 D．0

答案 A

b－＞0，??2

解析 由题意知?4c－b??4＜0，

2

??b＜0，

即?2

??b＞4c.

又f′(x)＝2x＋b，∴f′(x)的图像为A.

7．f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x)，g(x)满足f′(x)＝g′(x)，则f(x)与g(x)满足( )

A．f(x)＝g(x) B．f(x)＝g(x)＝0 C．f(x)－g(x)为常数函数 D．f(x)＋g(x)为常数函数 答案 C

8．若P为曲线y＝lnx上一动点，Q为直线y＝x＋1上一动点，则|PQ|min＝( ) A．0 C.2 答案 C

解析 如图所示，直线l与y＝lnx相切且与y＝x＋1平行时，切点P到直线y＝x＋1的距离|PQ|即112

为所求最小值．(lnx)′＝，令＝1，得x＝1.故P(1,0)．故|PQ|min＝＝2.故选C.

xx2

B.2

2

D．2

sinx1π

9．曲线y＝－在点M(，0)处的切线的斜率为( )

sinx＋cosx2411

A．－ B.

22C．－

22 D. 22

答案 B 解析 ∵y′＝

12

1

sinx＋cosx12

2·[cosx(sinx＋cosx)－sinx·(cosx－sinx)]＝

1

sinx＋cosx2，∴

y′|x＝π＝，∴k＝y′|x＝π＝. 4

4

11x－x10．(2015·山东烟台期末)若点P是函数y＝e－e－3x(－≤x≤)图像上任意一点，且在点P处切

22

线的倾斜角为α，则α的最小值是( )

A.C.5π 6π 4

B.D.3π 4π 6

答案 B

解析 由导数的几何意义，k＝y′＝e＋e－3≥2e·e－3＝－1，当且仅当x＝0时等号成立．即3π

tanα≥－1，α∈[0，π)，又∵tanα<0，所以α的最小值为，故选B.

4

13－1

11．已知y＝x－x＋1，则其导函数的值域为________．

3答案 [2，＋∞)

ππ

12．已知函数f(x)＝f′()cosx＋sinx，所以f()的值为________．

44答案 1

ππππππ

解析 因为f′(x)＝－f′()sinx＋cosx，所以f′()＝－f′()sin＋cos，所以f′()

444444ππππ

＝2－1.故f()＝f′()cos＋sin＝1.

4444

13．(2013·江西文)若曲线y＝x＋1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝________. 答案 2

解析 由题意y′＝αx＝2.

e

14．(2015·广东肇庆一模)曲线f(x)＝在x＝0处的切线方程为________．

x－1答案 2x＋y＋1＝0

解析 根据题意可知切点坐标为(0，－1)，f′(x)＝

0

x－xx－xαα－1

2－0

，在点(1,2)处的切线的斜率为k＝α，又切线过坐标原点，所以α＝

1－0

xx－1e

x′－ex－12

xx－1′

x－2ex＝，

x－12

0－2e

故切线的斜率为k＝f′(0)＝2＝－2，则直线的方程为y－(－1)＝(－2)(x－0)?2x＋y＋1＝0，

0－1故填2x＋y＋1＝0.

15．(2015·河北邯郸二模)曲线y＝log2x在点(1,0)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于________．

1

答案 log2e

2解析 ∵y′＝11，∴k＝. xln2ln2

1

∴切线方程为y＝(x－1)．

ln2

1111

∴三角形面积为S△＝×1×＝＝log2e.

2ln22ln22

16．若抛物线y＝x－x＋c上的一点P的横坐标是－2，抛物线过点P的切线恰好过坐标原点，则实数

2

c的值为________．

答案 4

解析 ∵y′＝2x－1，∴y′|x＝－2＝－5. 6＋c又P(－2,6＋c)，∴＝－5.∴c＝4.

－217．已知函数f(x)＝x＋x－16.

(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；

1

(2)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．

4

答案 (1)y＝13x－32 (2)切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)，切线方程为y＝4x－18或y＝4x－14

解析 (1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上． ∵f′(x)＝(x＋x－16)′＝3x＋1，

∴在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13. ∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，即y＝13x－32. 1

(2)∵切线与直线y＝－x＋3垂直，

4∴切线的斜率为k＝4.

设切点的坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝3x0＋1＝4. ∴x0＝±1.

??x0＝1，∴?

?y0＝－14?

2

3

2

3

??x0＝－1，

或?

?y0＝－18.?

∴切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)． 切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18. 即y＝4x－18或y＝4x－14.

18．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0. (1)求f(x)的解析式；

(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．

3

答案 (1)f(x)＝x－ (2)定值为6

bxx