2012年数学全真模拟试卷(4)

2012年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题四

试题Ⅰ

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上. ．．．．．．．．1． 已知数集M???1，， 0 x?2?中有3个元素，则实数x不能取的值构成的集合为 ▲ ． 2． 在△ABC中， AB?1，AC?3．

3，?ABC?π，则?ACB? ▲ ．

3?(3?0.5k)? ▲ ．

k?0104． 豌豆的高矮性状的遗传由其一对基因决定，其中决定高的基因记为D，决定矮的基因记为d，

则杂交所得第一子代的一对基因为Dd，若第二子代的D，d的基因遗传是等可能的（只要有基 因D则其就是高茎，只有两个基因全是d时，才显示矮茎），则第二子代为高茎的概率为 ▲ ． 5． 蒸汽机飞轮的直径为1.2米，以320（转/分）的速度作逆时针旋转，则飞轮上一点1秒内所经

过的路程为 ▲ 米．

2)，a?1b?(?2， 1)，则a?b? ▲ ． 6． 在平面直角坐标系xOy中，已知向量a?(1，57． 在一本书中，分组统计100个句子中的字数，得出下列结果：字数1~5个的5句，字数6~10

个的27句，字数11~15个的32句，字数16~20个的21句，字数21~25个的9句，字数26~30 个的6句．利用组中值可估计该书中平均每个句子所包含的字数为 ▲ ． 8． 在△ABC中，若tanA?tanB?tanC?1，则tanAtanBtanC? ▲ ．

9． 下面的流程图中，能实现数据A，B互相交换的有 ▲ ．（把符合条件的图形序号全填上）

输出A，B 结束 ①

输出A，B 结束 ②

输出A，B 结束 ③

C?A A?B B?C A?A+B B?A-B A?A-B A?A-B B?A+B A?B-A 开始 输入A，B 开始 输入A，B 开始 输入A，B 10．已知x、y为正实数，满足2x+y?6?xy，则xy的最小值为 ▲ ．

11．已知存在实数a，满足对任意的实数b，直线y??x?b都不是曲线y?x3?3ax的切线，则实数

a的取值范围是 ▲ ．

12．已知某四面体的六条棱长分别为5，3，2，2，2，2，则两条较长棱所在直线所成

角的余弦值为 ▲ ．

2y2x13．在平面直角坐标系xOy中，直线x?t (?4?t?4)与椭圆? y1)、P2(t， y2)，?1交于两点P1(t，169且y1?0、y2?0，A1、A2分别为椭圆的左、右顶点，则直线A1P2与A2P1的交点所在的曲线方程为 ▲ ．

14．在平面直角坐标系xOy中，过原点O的直线与函数y?log8x的图象交于A、B两点（A在B的

左侧），分别过A、B作y轴的平行线分别与函数y?log2x的图象交于C、D两点，若BC//x轴，则四边形ABCD的面积为 ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证 ．．．．．．． 明过程或演算步骤．

x?R（其中A?0， ??0， 0

23（1）求f(x)的解析式； （2）当x??π，π?时，求f(x)的最大值及相应的x的值． ??122??

16．（本题满分14分）

如图，在四面体ABCD中，AB?AC?DB?DC，点E是BC 的中点，点F在线段AC上，且AF??． AC（1）若EF∥平面ABD，求实数?的值； （2）求证：平面BCD⊥平面AED．

F

B

E C （第16题图）

D

A

??17．（本题满分15分）请你为某养路处设计一个用于储藏食盐的仓库（供融化高速公路上的积雪之 用）．它的上部是底面圆半径为5m的圆锥，下部是底面圆半径为5m的圆柱，且该仓库的总高度 为5m．经过预算，制造该仓库的圆锥侧面、圆柱侧面用料的单价分别为400元/m2、100元/m2， 问当圆锥的高度为多少时，该仓库的侧面总造价（单位：元）最少？

（第17题图）

2y2x 18．（本题满分15分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆2?2?1(a?b?0)的离心率为2，右顶

2ab点为A，直线BC过原点O，且点B在x轴上方，直线AB与AC分别交直线l：x?a?1于点E、F. （1）若点By B O C E （第18题）

A F x ①试探究：k1?k2是否为定值？若为定值，请求出；

若不为定值，请说明理由； ②求△AEF的面积的最小值.

19．（本题满分16分）已知等比数列?an?的首项为a1(a1?0)，公比为q(0?q?1)，且?ai?121，

81i?1 1?ai?155?2， 3，求△ABC的面积；

?（2）若点B为动点，设直线AB与AC的斜率分别为k1、k2.

?121．（1）求数列?an?的通项公式；

i（2）若从数列?an?中依次抽取的一个无穷等比数列，满足其所有项的和落在区间?1， 5?内，试

?1224??? 求出所有这样的等比数列．

（参考公式：首项为a1，公比为q（0< | q | <1）的无穷等比数列的各项的和S?a1.） 1?q

20．（本题满分16分）定义在正实数集上的函数f(x)满足下列条件：

（0?a?1） ①存在常数a，使得f(a)?1； ②对任意实数m，当x?0时，恒有f(xm)?mf(x)．

（1）求证：对于任意正实数x、y，f(xy)?f(x)?f(y)； （2）证明：f(x)在(0，??)上是单调减函数；

8（3）若不等式flog23恒成立，求实数a的取值范围． a?4?x??2?floga(4?x)≤????

试题Ⅱ（附加题）

21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．（几何证明选讲）

如图，已知两圆交于A、B两点，过点A、B的直线分别与两圆 交于P、Q和M、N．求证：PM//QN． B．（矩阵与变换）

已知矩阵A的逆矩阵AC．（极坐标与参数方程）

2y2x y)分别作x轴、y轴的在平面直角坐标系xOy中，过椭圆??1在第一象限处的一点P(x，124?1M P B N A Q ?10????，求矩阵A． 02??（第21—A题）

两条垂线，垂足分别为M、N，求矩形PMON周长最大值时点P的坐标． D．（不等式选讲）

已知关于x的不等式x?a?1?x?0的解集为R，求实数a的取值范围．

【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文 ．．．．．．． 字说明、证明过程或演算步骤．

22．如图，正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AD?1，D1D?2，点P在棱CC1上，且?A1PB??．

?（1）求PC的长；

（2）求钝二面角A?A1B?P的大小．

A1 D1 B1

C1

P

D A B （第22题图）

C

2 3 ???， nn≥4，23．某品牌设计了编号依次为1，，， 且n?N*的n种不同款式的时装，由甲、乙两位

?? 且i，j?N)种款式用来拍摄广告． 模特分别独立地从中随机选择i，j (0≤i，j≤n，（m?1）（1）若i?j?2，且甲在1到m(m为给定的正整数，且2≤m≤n?2)号中选择，乙在到

m?1≤t≤n)为款式（编号）s和t同时被选中的概率，求所有n号中选择．记Pst(1≤s≤m，的Pst的和；