2016年北京市高考数学试卷（文科）（含解析）

金榜教育

取x=0，得；

，

，PB所在直线方程为

取y=0，得∴|AN|=|BM|=1-∴=-=

=

． =

=

．

， ．

∴四边形ABNM的面积为定值2． 20、答案：

试题分析：（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，进而得到所求切线的方程；

（2）由f（x）=0，可得-c=x3+4x2+4x，由g（x）=x3+4x2+4x，求得导数，单调区间和极值，由-c介于极值之间，解不等式即可得到所求范围；

（3）先证若f（x）有三个不同零点，令f（x）=0，可得单调区间有3个，求出导数，由导数的图象与x轴有两个不同的交点，运用判别式大于0，可得a2-3b＞0；再由a=b=4，c=0，可得若a2-3b＞0，不能推出f（x）有3个零点．

试题解析：（1）函数f（x）=x3+ax2+bx+c的导数为f′（x）=3x2+2ax+b， 可得y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k=f′（0）=b， 切点为（0，c），可得切线的方程为y=bx+c； （2）设a=b=4，即有f（x）=x3+4x2+4x+c， 由f（x）=0，可得-c=x3+4x2+4x，

由g（x）=x3+4x2+4x的导数g′（x）=3x2+8x+4=（x+2）（3x+2）， 当x＞-或x＜-2时，g′（x）＞0，g（x）递增； 当-2＜x＜-时，g′（x）＜0，g（x）递减． 即有g（x）在x=-2处取得极大值，且为0；

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g（x）在x=-处取得极小值，且为-由函数f（x）有三个不同零点，可得-解得0＜c＜

，

）；

．

＜-c＜0，

则c的取值范围是（0，

（3）证明：若f（x）有三个不同零点，令f（x）=0， 可得f（x）的图象与x轴有三个不同的交点． 即有f（x）有3个单调区间，

即为导数f′（x）=3x2+2ax+b的图象与x轴有两个交点， 可得△＞0，即4a2-12b＞0，即为a2-3b＞0；

若a2-3b＞0，即有导数f′（x）=3x2+2ax+b的图象与x轴有两个交点， 当c=0，a=b=4时，满足a2-3b＞0，

即有f（x）=x（x+2）2，图象与x轴交于（0，0），（-2，0），则f（x）的零点为2个．

故a2-3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件．

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