（整理）六年级奥数比和比例2

-------------

答：小龙走完全程用了10小时25分.

上面是通常思路下解题.1∶2∶3计算中用了两次，似乎重复计算，最后算式也颇费事.事实上，灵活运用比例有简捷解法.

解二：全程长是上坡这一段长的（1+2+3）=6（倍）.如果上坡用的时

设小龙走完全程用x小时.可列出比例式

二、比的变化

已知两个数量的比，当这两个数量发生增减变化后，当然比也发生变化.通过变化的描述，如何求出原来的两个数量呢？这就是这一节的内容.

例11 甲、乙两同学的分数比是5∶4.如果甲少得22.5分，乙多得22.5分，则他们的分数比是5∶7.甲、乙原来各得多少分？

解一：甲、乙两人的分数之和没有变化.原来要分成5+4=9份，变化后要分成5+7=12份.如何把这两种分法统一起来？这是解题的关键.9与12的最小公倍数是36，我们让变化前后都按36份来算. 5∶4=（5×4）∶（4×4）=20∶16. 5∶7=（5×3）∶（7×3）=15∶21.

甲少得22.5分，乙多得22.5分，相当于20-15=5份.因此原来 甲得22.5÷5×20=90（分）， 乙得 22.5÷5×16=72（分）. 答：原来甲得90分，乙得72分.

我们再介绍一种能解本节所有问题的解法，也就是通过比例式来列方程.

解二：设原先甲的得分是5x，那么乙的得分是4x.根据得分变化，可列出比例式. （5x-22.5）∶（4x+22.5）=5∶7 即 5（4x+22.5）=7（5x-22.5） 15x=12×22.5 x=18.

甲原先得分18×5=90（分），乙得18×4=72（分）.

解：其他球的数量没有改变.

增加8个红球后，红球与其他球数量之比是 5∶（14-5）=5∶9.

在没有球增加时，红球与其他球数量之比是

-------------

-------------

1∶（3-1）=1∶2=4.5∶9.

因此8个红球是5-4.5=0.5（份）. 现在总球数是

答：现在共有球224个.

本题的特点是两个数量中，有一个数量没有变.把1∶2写成4.5∶9，就是充分利用这一特点.本题也可以列出如下方程求解：

（x+8）∶2x=5∶9.

例13 张家与李家的收入钱数之比是8∶5，开支的钱数之比是8∶3，结果张家结余240元，李家结余270元.问每家各收入多少元？

解一：我们采用“假设”方法求解.

如果他们开支的钱数之比也是8∶5，那么结余的钱数之比也应是8∶5.张家结余240元，李家应结余x元.有

240∶x=8∶5，x=150（元）.

实际上李家结余270元，比150元多120元.这就是8∶5中5份与8∶3中3份的差，每份是120÷（5-3）=60.（元）.因此可求出

答：张家收入720元，李家收入450元.

解二：设张家收入是8份，李家收入是5份.张家开支的3倍与李家开支的8倍的钱一样多. 我们画出一个示意图：

张家开支的3倍是（8份-240）×3. 李家开支的8倍是（5份-270）×8. 从图上可以看出

5×8-8×3=16份，相当于 270×8-240×3=1440（元）. 因此每份是1440÷16=90（元）. 张家收入是90×8=720（元），李家收入是90×5=450（元）. 本题也可以列出比例式：

（8x-240）∶（5x-270）=8∶3.

然后求出x.事实上，解方程求x的计算，与解二中图解所示是同一回事，图解有算术味道，而且一些数量关系也直观些.

例14 A和B两个数的比是8∶5，每一数都减少34后，A是B的2倍，求这两个数.

解：减少相同的数34，因此未减时，与减了以后，A与B两数之差并没有变，解题时要充分利用这一点. 8∶5，就是8份与5份，两者相差3份.减去34后，A是B的2倍，就是2∶1，两者相差1.将前项与后项都乘以3，即2∶1=6∶3，使两者也相差3份.现在就知道34是8-6=2（份）或5-3=2（份）.因此，每份是34∶2=17.

A数是17×8=136，B数是17×5=85. -------------

-------------

答：A，B两数分别是136与85.

本题也可以用例13解一“假设”方法求解，不过要把减少后的2∶1，改写成8∶4. 例15 小明和小强原有的图画纸之比是4∶3，小明又买来15张.小强用掉了8张，现有的图画纸之比是5∶2.问原来两人各有多少张图画纸？

解一：充分利用已知数据的特殊性.

4+3=7，5+2=7，15-8=7.原来总数分成7份，变化后总数仍分成7份，总数多了7张，因此， 新的1份=原来1份+1

原来4份，新的5份，5-4=1，因此 新的1份有15-1×4=11（张）.

小明原有图画纸11×5-15=40（张）， 小强原有图画纸11×2+8=30（张）.

答：原来小明有40张，小强有30张图画纸.

解二：我们也可采用例13解一的“假设”方法.先要将两个比中的前项化成同一个数（实际上就是通分） 4∶3=20∶15 5∶2=20∶8.

但现在是20∶8，因此这个比的每一份是

当然，也可以采用实质上与解方程完全相同的图解法. 解三：设原来小明有4“份”，小强有3“份”图画纸.

把小明现有的图画纸张数乘2，小强现有的图画纸张数乘5，所得到的两个结果相等.我们可以画出如下示意图：

从图上可以看出，3×5-4×2=7（份）相当于图画纸15×2+8×5=70（张）. 因此每份是10张，原来小明有40张，小强有30张.

例11至15这五个例题是同一类型的问题.用比例式的方程求解没有多大差别.用算术方法，却可以充分利用已知数据的特殊性，找到较简捷的解法，也启示一些随机应变的解题思路.另外，解方程的代数运算，对小学生说来是超前的，不容易熟练掌握.例13的解一，也是一种通用的方法.“假设”这一思路是很有用的，希望读者能很好掌握，灵活运用.从课外的角度，我们更应启发小同学善于思考，去找灵巧的解法，这就要充分利用数据的特殊性.因此我们总是先讲述灵巧的解法，利于心算，促进思维.

例16 粗蜡烛和细蜡烛长短一样.粗蜡烛可以点5小时，细蜡烛可以点4小时.同时点燃这两支蜡烛，点了一段时间后，粗蜡烛长是细蜡烛长的2倍.问这两支蜡烛点了多少时间？

我们把问题改变一下：设细蜡烛长度是2，每小时点

-------------

-------------

等需要时间是

答：这两支蜡烛点了3小时20分.

把细蜡烛的长度和每小时烧掉的长度都乘以2，使原来要考虑的“2倍”变成“相等”，思考就简捷了.解这类问题这是常用的技巧.再请看一个稍复杂的例子. 例17 箱子里有红、白两种玻璃球，红球数是白球数的3倍多2只.每次从箱子里取出7只白球，15只红球，经过若干次后，箱子里剩下3只白球，53只红球，那么，箱子里原来红球数比白球数多多少只？

解：因为红球是白球的3倍多2只，每次取15只，最后剩下53只，所以对3倍的白球，每次取15只，最后应剩51只.

因为白球每次取7只，最后剩下3只，所以对3倍的白球，每次取 7×3＝21只，最后应剩 3×3＝ 9只.因此.共取了（51- 3×3）÷（7×3-15）＝ 7（次）. 红球有 15×7＋ 53＝ 158（只）. 白球有 7×7＋3＝52（只）.

原来红球比白球多 158-52＝106（只）. 答：箱子里原有红球数比白球数多106只. 三、比例的其他问题

，这里必须用分数来说，而不能用比.实际上它还是隐含着比例关系： （甲-7）∶乙= 2∶3.

因此，有些分数问题，就是比例问题.

加33张，他们两人取的画片一样多.问这些画片有多少张？

答：这些画片有261张.

-------------