二次函数解析式的确定讲义

142152497.docx

———————————————————————————————————————————————————

二次函数解析式的确定

【考情分析】

二次函数的解析式的求法是中考命题的重中之重，更是有些二次函数的中考压轴题后续问题得以解决的先决条件，它可以填空题、选择题出现，更多的是通常以综合题的形式出现在中考试卷的压轴题中，占10~12分左右。

【学情分析】：

用待定系数法确定函数解析式在八年级学生已经接触并掌握，通过学习学生知道具体的方法、步骤，因此二次函数解析式的确定学生容易接受，同时经过二次函数图像性质的学习学生已经掌握必备的知识，所以教学中主要引导学生自主学习为主。在求函数的解析式时，若选择不当，则解题繁琐，甚至是解不出题，所以选择得当，解题简捷的方法非常重要。

本次课主要针对的是进行初三期末复习以及中考备考的学生，希望通过这节课的学习，每个同学都能熟练的掌握确定二次函数解析式的方法，在掌握了各类求二次函数解析式的方法和技巧的基础上，通过本题组的练习进一步提升学生利用二次函数的图像及性质解决问题的能力。

【教学目标】

1、掌握二次函数解析式的表达方式

2、会用待定系数法求二次函数的解析式，能根据已知条件选择解析式的不同的形式，用待定系数法求二次函数解析式。培养学生类比、归纳的能力，以及用数形结合与数学建模的思想方法思考并解决问题。

3、让学生经历观察、比较、归纳、应用以及猜想、验证的学习过程，使学生掌握类比、转化等方法，养成既能自主探索，又能合作探究的良好学习习惯。 【教学重点】

（1）已知图象上任意三点坐标的二次函数解析式；

（2）已知图象的顶点和另一点的坐标的二次函数解析式； （3）已知图象与x轴的交点坐标的二次函数解析式；

（4）其他情况下，通过对具体情况的分析，确定二次函数的解析式。

【教学难点】

（1）点的坐标到式子的转化；

（2）会通过对具体情况的分析，充分利用二次函数图像的性质，选择适当的方法求二次函数的解析式。

【知识精讲】：

一、二次函数常见的表达形式有： （1）一般式：y＝ax2＋bx＋c（a≠0）；

（2）顶点式：y＝a(x－h)2＋k，其中点（h，k）是抛物线的顶点坐标； （3）交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)，其中点（x1，0），（x2，0）为该二次函数与x轴的交点。

二、二次函数解析式的确定方法： 1．待定系数法

（1）一般式：y?ax2?bx?c(a?0)

?如果已知二次函数的图像上的三点坐标（或称函数的三对对应值）

锡中初中数学组

2013-4-13

x1，y1??、

x2，y2??、

x3，y3?，

第 1 页 共 6 页

142152497.docx

———————————————————————————————————————————————————

那么方程组

温馨提示：已知任意3点坐标，可用一般式求解二次函数解析式．

【原型】已知二次函数的图象过（－1，－9）、（1，－3）和（3，－5）三点，求此二次函数的解析式。

〖搭配练习〗

1、已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A，B，C三点，当x≥0时，其图象如图所示，求抛物线的解析式，写出顶点坐标。

?y1?ax12?bx1?c?2?y2?ax2?bx2?c?2?y3?ax3?bx3?c2y?ax?bx?c．bac就可以唯一确定、、，从而求得函数解析式

（2）顶点式：y?a(x?h)2?k(a?0)

b?4ac?b2?由于y?ax?bx?c?a?x???，所以当已知二次函数图像的顶点坐标

2a4a??22

?b4ac?b2?b?4ac?b2?，从而利用其他条件，容??，?时，就可以设二次函数形如y?a?x???2a?4a4a???2ab易求得此函数的解析式．这里直线x??又称为二次函数图像的对称轴．

2a2温馨提示：已知顶点坐标或对称轴时，可用顶点式求解二次函数解析式．

【原型】已知抛物线的顶点（－1，－2）且图象经过（1，10），求此抛物线解析式。

【变式】二次函数y＝ax2＋box＋c的对称轴为x＝3，最小值为－2，且过（0，1），求此函数的解析式。

〖搭配练习〗

1、已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是（1，－2），求这个二次函数的解析式．

（3）交点式：y?a(x?x1)(x?x2)(a?0)

b?4ac?b2??a?x?x1??x?x2?，这里x1，我们知道，y?ax?bx?c?a?x???x2分别是方程

2a?4a?ax2?bx?c?0的两根．当已知二次函数的图像与x轴有交点（或者说方程ax2?bx?c?0有实

22根）时，就可以令函数解析式为y?a?x?x1??x?x2?，从而求得此函数的解析式． 温馨提示：已知抛物线与x的两个交点坐标，可用交点式求解二次函数解析式．

锡中初中数学组

2013-4-13

第 2 页 共 6 页

142152497.docx

———————————————————————————————————————————————————

【原型】已知二次函数的图象与x轴的交点为（－5，0），（2，0），且图象经过（3，－4），求抛物线的解析式。

〖搭配练习〗

1、二次函数的图象经过A（－1，0），B（3，0），函数有最小值－8，求该二次函数的解析式。（请用交点式和顶点式两种方法解题）

2、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x 轴交于(2，0)、（4，0），顶点到x 轴的距离为3，求函数的解析式。

易错点：距离转化为坐标时，要考虑正负值

【变式】此处加九年级提优讲义第一页最后一题

非交点对称式：y?a(x?x1)(x?x2)?k(a?0)

注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b2?4ac?0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化

温馨提示：当抛物线经过点(x1,k)、(x2,k)时，可以用对称式来求二次函数的解析式．

【原型】已知二次函数的图象经过（2，6），（6，6），且图象经过（4，3），求抛物线的解析式。

2、其他方法： （1）平移式

【原型】把抛物线y＝－2x2向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到抛物线y＝a( x－h)2 ＋k，求此抛物线解析式。

【变式1】抛物线y＝－x2＋x－3向上平移，使抛物线经过点C（0，2），求抛物线的解析式。

【变式2】二次函数的图象顶点坐标为（2，1），形状开口与抛物线y= - 2x2相同，这个函数解析式为________。

易错点：形状开口相同则a相同而不是a的绝对值相同，看清楚有没有说明开口方向的问题。

〖搭配练习〗

15

1、把二次函数y＝-2x2＋3x＋2的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，求所得二次函数的解析式。

22、抛物线y?x?bx?c图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式

2y?x?2x?3，则b、c的值为 （） 为

A . b=2， c=2 B. b=2，c=0 C . b= -2，c=-1 D. b= -3， c=2

锡中初中数学组 2013-4-13 第 3 页 共 6 页

142152497.docx

———————————————————————————————————————————————————

（2）对称轴式

【原型1】抛物线的对称轴是x＝2，且过（4，－4）、（－1，2），求此抛物线的解析式。

133

【变式1】一条抛物线y＝4x2＋mx＋n经过点（0，2）与（4，2），求这条抛物线的解析式。

【变式2】已知抛物线y＝(a＋2)x2－(a＋1)x＋2a的顶点在x轴上，求抛物线的解析式。

〖搭配练习〗

1、已知点A（－2，－c）向右平移8个单位得到点A′，A与A′两点均在抛物线y＝ax2＋bx＋c上，且这条抛物线与y轴的交点的纵坐标为－6，求这条抛物线的顶点坐标．

2、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c中的x、y满足下表： x … －2 －1 0 1 2 … y … 4 0 －2 －2 0 … 求这个二次函数关系式．

（3）距离式

【原型】抛物线y＝ax2＋4ax＋1（a＞0）与x轴的两个交点间的距离为2，求抛物线的解析式。

【变式1】已知抛物线y＝mx2＋3mx－4m（m＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且AB＝BC，求此抛物线的解析式。

【变式2】已知抛物线y＝－x2＋ax＋4，交x轴于A、B（点A在点B左边）两点，交 y

3

轴于点C，且OB－OA＝4OC，求此抛物线的解析式。

【变式3】抛物线y＝x2－2x＋(m2－4m＋4)与x轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线顶点到y轴距离的2倍，求抛物线的解析式。

〖搭配练习〗

1、已知二次函数y=ax2+bx+c，当x=2时，有最大值2，其图象在x轴截得的线段长为2，求这个二次函数的解析式。

（4）对称式

【原型1】求与抛物线y＝x2＋4x＋3关于y轴（或x轴）对称的抛物线的解析式。

〖搭配练习〗

1已知抛物线l1：y＝ax2－2amx＋am2＋2m＋1（a＞0，m＞0）的顶点为A，抛物线l2的顶点B在y轴上，且抛物线l1和l2关于P（1，3）成中心对称。 （1）当a＝1时，求l2的解析式和m的值；

（2）设l2与x轴正半轴的交点是C，当△ABC为等腰三角形时，求a的值。

锡中初中数学组

2013-4-13

第 4 页 共 6 页