2004-2013历年考研数学三真题及答案解析

2013年全国硕士研究生入学统一考试

f(x)1 O 1 2 3 f(x)1 -1 (C)

x (D)

?*-2 -1 O 1 2 3 x

（5）设A,B均为2阶矩阵，A,B分别为A,B的伴随矩阵，若|A|?2,|B|?3，则分

?OA?块矩阵??的伴随矩阵为

BO???O3B*?(A)?*?.

O??2A?O3A*?(C)?*?.

2BO???O (B)?*?3A

2B*??. O?2A*??. O??O (D)?*?3B?100???T（6）设A,P均为3阶矩阵，PT为P的转置矩阵，且PAP??010?，

?002???若P?(?1,?2,?3),Q?(?1??2,?2,?3)，则QAQ为

T?210?

??(A)?110?.

?002????200???(C)?010?.

?002???

?110??? (B)?120?.

?002????100??? (D)?020?.

?002???

（7）设事件A与事件B互不相容，则 (A)P(AB)?0.

(B)P(AB)?P(A)P(B). (D)P(A?B)?1.

(C)P(A)?1?P(B).

（8）设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布N(0,1)，Y的概率分布为

P{Y?0}?P{Y?1}?1，记Fz(Z)为随机变量Z?XY的分布函数，则函数FZ(z)的间断2生命不息 - 29 - 奋斗不止

2013年全国硕士研究生入学统一考试

点个数为

(A) 0.

(B)1. (C)2. (D)3.

二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9）lime?ecosx1?x?12x?03? .

（10）设z?(x?e)，则

yx?z? . ?x(1,0)en?(?1)nn（11）幂级数?x的收敛半径为 . 2nn?1?（12）设某产品的需求函数为Q?Q(P),其对应价格P的弹性?p?0.2，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加 元.

?300???TTT（13）设??(1,1,1),??(1,0,k)，若矩阵??相似于?000?，则k? .

?000???(14) 设X1，X2,…,Xm为来自二项分布总体B(n,p)的简单随机样本，X和S分别为样本均值和样本方差，记统计量T?X?S，则ET? . 三、解答题：15～23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分9分）

求二元函数f(x,y)?x22?y2?ylny的极值. （16）（本题满分10 分） 计算不定积分ln(1?22???1?x)dx (x?0). x（17）（本题满分10 分） 计算二重积分

??(x?y)dxdy，其中D?{(x,y)(x?1)D2?(y?1)2?2,y?x}.

（18）（本题满分11 分）

（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理，若函数f(x)在?a,b?上连续，在?a,b?上可导，则

???a,b?，得证f(b)?f(a)?f'(?)?b?a?.

生命不息 - 30 - 奋斗不止

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（Ⅱ）证明：若函数f(x)在x?0处连续，在?0,??,?(?0内)可导，且

x?0limf'(x?)A，则f?'(0)存在，且f'?(0)?A. ?（19）（本题满分10 分）

设曲线y?f(x)，其中f(x)是可导函数，且f(x)?0.已知曲线y?f(x)与直线

y?0,x?1及x?t(t?1)所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯

形面积值的?t倍，求该曲线的方程.

（20）（本题满分11 分） 设

?1?1?1???1?????A=??111?,?1??1?.

?0?4?2???2?????（Ⅰ）求满足A?2??1，A2?3??1的所有向量?2，?3. （Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量?2,?3，证明?1,?2,?3线性无关. （21）（本题满分11 分） 设二次型

f(x1,x2,x3)?ax12?ax22?(a?1)x32?2x1x3?2x2x3.

（Ⅰ）求二次型f的矩阵的所有特征值.

（Ⅱ）若二次型f的规范形为y12?y22，求a的值. （22）（本题满分11 分）

设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

?e?xf(x,y)???0（Ⅰ）求条件概率密度fYX(yx)； （Ⅱ）求条件概率PX?1Y?1. （23）（本题满分11分）

0?y?x其他

??袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现在放回的从袋中取两次，每次取一个，求生命不息 - 31 - 奋斗不止

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以X、Y、Z分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数.

（Ⅰ）求PX?1Z?0；

（Ⅱ）求二维随机变量(X,Y)的概率分布. ??

生命不息 - 32 - 奋斗不止