山东省济宁市高考数学一轮复习 第二讲 抛物线习题 理 新人教A版

第三部分 抛物线

12

1．[2014·安徽卷] 抛物线y＝x的准线方程是( )

4A．y＝－1 B．y＝－2 C．x＝－1 D．x＝－2

122

答案：A [解析] 因为抛物线y＝x的标准方程为x＝4y，所以其准线方程为y＝－1.

42．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知抛物线C：y＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，5

|AF|＝x0，则x0＝( )

4

A．1 B．2 C．4 D．8

1p152

答案：A [解析] 由抛物线方程y＝x，知p＝，又因为|AF|＝x0＋＝x0＋＝x0，所

2244以得x0＝1.

2

3． [2014·辽宁卷] 已知点A(－2，3)在抛物线C：y＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为( )

4

A．－ B．－1

331C．－ D．－

42

2

答案：C [解析] 因为抛物线C：y＝2px的准线为x＝ p－p2

－，且点A(－2，3)在准线上，故＝－2，解得p＝4，所以y＝8x，所以焦点F的22

3－03

坐标为(2，0)，这时直线AF的斜率kAF＝＝－.

－2－24

4．[2014·湖南卷] 平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1，0)的距离和到直线x＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P(－1，0)且斜率为k的直线，则k的取值范围是________．

2

答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞) [解析] 依题意可知机器人运行的轨迹方程为y＝4x.

??y＝k（x＋1），22222

设直线l：y＝k(x＋1)，联立?2消去y得kx＋(2k－4)x＋k＝0，由Δ＝(2k?y＝4x，?

242

－4)－4k＜0，得k＞1，解得k＜－1或k＞1.

2

5．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设F为抛物线C：y＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝( )

A.

30

B．6 3

2

C．12 D．73

3?3?答案：C [解析] 抛物线的焦点坐标为F?，0?，直线AB的斜率k＝tan 30°＝，3?4?

??y＝3x－3，12733321

34得x－x＋＝0，故x1＋x2＝，所以直线AB的方程为y＝x－.由?

34321622??y＝3x

9

x1x2＝.所以|AB|＝1＋k2·|x1－x2|＝

1611＋·3

2

?21?－4×9＝12. ?2?16??

2

2

2

6．[2014·株洲模拟] 已知直线y＝x－2与圆x＋y－4x＋3＝0及抛物线y＝8x依次

交于A，B，C，D四点，则|AB|＋|CD|等于( )

A．10 B．12 C．14 D．16

答案C [解析] 由题可知直线y＝x－2过圆心(2，0)，抛物线的焦点为(2，0)．由

??y＝x－2，?2得?y＝8x，?

x2－12x＋4＝0.设A(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1＋x2＝12，x1x2＝4，所以|AD|

＝

（x1－x2）＋（y1－y2）＝2（x1＋x2）－8x1x2＝

22×12－8×4＝16，故|AB|＋|CD|＝|AD|－2＝14.

222

12x2

7．(2013·山东高考)抛物线C1：y＝x(p＞0)的焦点与双曲线C2：－y＝1的右焦

2p3

点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝( )

33A. B. 168

C.23

3

D.43

3

2

【解析】 作出草图，数形结合，建立方程求解． ∵双曲线C2：－y＝1，

3

∴右焦点为F(2,0)，渐近线方程为y＝±

3x. 3

x2

2

12?p?抛物线C1：y＝x(p＞0)，焦点为F′?0，?. 2p?2?

12

设M(x0，y0)，则y0＝x0.

2p12ppx0－2p22

∵kMF′＝kFF′，∴＝.①

x0－2113

又∵y′＝x，∴y′|x＝x0＝x0＝.②

pp3

43

由①②得p＝.

3

【答案】 D

2

8．(2012·辽宁高考)已知P，Q为抛物线x＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为________．

12

【解析】 因为y＝x，所以y′＝x，易知P(4,8)，Q(－2,2)，所以在P、Q两点处切

2

线的斜率的值为4或－2.

所以这两条切线的方程为l1：4x－y－8＝0，l2：2x＋y＋2＝0， 将这两个方程联立方程组求得y＝－4. 【答案】 －4

2

备选9．[2014·四川卷] 已知F为抛物线y＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于

→→

x轴的两侧，OA·OB＝2(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( )

172

A．2 B．3 C. D.10

8

→→?1?222

答案：B [解析] 由题意可知，F?，0?.设A(y1，y1)，B(y2，y2)，∴OA·OB＝y1y2＋y1

?4?

2

y2＝2，

解得y1y2＝1或y1y2＝－2.又因为A，B两点位于x轴两侧，所以y1y2＜0，即y1y2＝－2.

y1－y212222

当y1≠y2时，AB所在直线方程为y－y1＝22(x－y1)＝ (x－y1)，

y1－y2y1＋y2

令y＝0，得x＝－y1y2＝2，即直线AB过定点C(2，0)．

11111

于是S△ABO＋S△AFO＝S△ACO＋S△BCO＋S△AFO＝×2|y1|＋×2|y2|＋×|y1|＝(9|y1|＋8|y2|)

22248

122

≥×29|y1|×8|y2|＝3，当且仅当9|y1|＝8|y2|且y1y2＝－2时，等号成立．当y1＝y2时，8

1

取y1＝2，y2＝－2，则AB所在直线的方程为x＝2，此时求得S△ABO＋S△AFO＝2××2×2

211172172＋××2＝.而>3，故选B. 2488

10．[2014·湖北卷] 在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1，0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.

(1)求轨迹C的方程；

(2)设斜率为k的直线l过定点P(－2，1)，求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．

解：(1)设点M(x，y)，依题意得|MF|＝|x|＋1，

22

即（x－1）＋y＝|x|＋1，

2

化简整理得y＝2(|x|＋x)．

??4x，x≥0，2

故点M的轨迹C的方程为y＝?

?0，x<0.?

(2)在点M的轨迹C中，

2

记C1：y＝4x(x≥0)，C2：y＝0(x<0)．

依题意，可设直线l的方程为y－1＝k(x＋2)．

??y－1＝k（x＋2），

由方程组?2

?y＝4x，?2

可得ky－4y＋4(2k＋1)＝0.①

当k＝0时，y＝1.把y＝1代入轨迹C的方程，

1得x＝.

4

?1?故此时直线l：y＝1与轨迹C恰好有一个公共点?，1?. ?4?

当k≠0时，方程①的判别式 Δ＝－16(2k2＋k－1)．②

2k＋1

设直线l与x轴的交点为(x0，0)，则由y－1＝k(x＋2)，令y＝0，得x0＝－.③

k??Δ<0，1(i)若?由②③解得k<－1或k>.

2?x0<0，?

?1?即当k∈(－∞，－1)∪?，＋∞?时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点，故

?2?

此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点．

?Δ＝0，??Δ>0，?1??1(ii)若?或?由②③解得k∈?－1?或－≤k<0.

2?2????x0<0?x0≥0，

?1???时，直线l与C1只有一个公共点，与C2有一个公共点． －1，即当k∈

2??

?1?当k∈?－，0?时，直线l与C1有两个公共点，与C2没有公共点． ?2?

1??1??

故当k∈?－，0?∪?－1，?时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点．

2??2??

??Δ>0，11

(iii)若?由②③解得－1

22?x0<0，?

1??1??即当k∈?－1，－?∪?0，?时，直线l与C1有一个公共点，与C2有一个公共点，故此2??2??

时直线l与轨迹C恰好有三个公共点．

?1?综上所述，当k∈(－∞，－1)∪?，＋∞?∪{0}时，直线l与轨迹C恰好有一个公共?2?

点；

1?1??1???当k∈?－，0?∪?－1，?时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点；当k∈?－1，－?2?2??2???

?1?∪?0，?时，直线l与轨迹C恰好有三个公共点． ?2?