近十份大学微积分下期末试题汇总（含答案）

（二）在方程两边同时对x求导，得

ez 解出

?z?z?yz?xy?y?x?x

?zyz?y?z ?xe?xy， …（3分） ?zxz?x?z同理解出?ye?xy …（6分）

33f(x,y)?x?12xy?8y4、求函数的极值。

解：f(x,y)?x?12xy?8y，则

33fx(x,y)?3x2?12y，

fy(x,y)?24y2?12x，

fxx(x,y)?6x，fxy(x,y)??12，fyy(x,y)?48y，2??3x?12y?0，?2?24y?12x?0，?求驻点，解方程组得(0,0)和(2,1). …（2分）

对(0,0)有

2fxx(0,0)?0，fxy(0,0)??12，fyy(0,0)?0，

于是B?AC?144?0，所以(0,0)点不是函数的极值点. …（4分）

对(2,1)有

fxx(2,1)?12，fxy(2,1)??12，fyy(2,1)?48，

24?24?80，且A?12?0，所以函数在(2,1)点取得极小于是B?AC?14?133f(2,1)?2?12?2?1?8?1??8 …（6分） 值,

…（5分）

1y?x,y? D x 及y?2所围成的闭区域； 6、计算二重积分D,其中是由

??(2x?y)d?2y1y解：

??(2x?y)d???Ddy?1(2x?y)dx …（4分）

??(2y2?1?12119)dy?y26 …（6分）

f(t)dt?2f(x)?x?0?f(x)f(x)。 07、已知连续函数满足，求

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x解：关系式两端关于x求导得：

f(x)?2f?(x)?1?0即

f?(x)?11f(x)??22 …（2分）

这是关于f(x)的一阶线性微分方程，其通解为：

f(x)?e??2?dx1?(?(?)e2?c)2

x2?x2dx

??e(e?c)??1?ce …（5分）

?x2x2f(x)?e又f(0)?0，即0??1?c，故c?1，所以

2(1?x)y???2xy??08、求微分方程

?1 …（6分）

解 这是一个不明显含有未知函数yd2ydpdy??p2dxdxdx作变换 令 ，则dp2x?dx2， 分离变量p1?xp?C1(1?x)

2(1?x2)dp?2px?0dx

…（3分）

lnp?ln(1?x2)?lnC1

即

dy?C1(1?x2) dx …（5分）

x3C1(x?)?C23 y＝

? …（6分）

(x?3)n?n的收敛区间。 9、求级数n?1解：令t?x?3,幂级数变形为n?1?n?tnR?liman?limn?1?1tn??an??nn,n?1. …（3分）

当t??1时,级数为n?0?(?1)?1n收敛；

当t?1时,级数为n?1??1n发散.

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故n?1???tnn的收敛区间是It?[?1,1), …（5分）

(x?3)n?n的收敛区间为Ix?[2,4). …（6分） 那么n?1cos(n?x)?n!10、 判定级数n?1是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛： cos(n?x)1?n!n! …（2分） 解：因为

?1?由比值判别法知n?1n!收敛(

?1(n?1)!lim?0n??1n!)， …（4分）

从而由比较判别法知n?1???cos(n?x)cos(n?x)?n!n!收敛，所以级数n?1绝对收敛. …（6分）

四、证明题(每小题5分,共10分)

1、设级数n?1?a?2nan(an?0)?n收敛，证明n?1也收敛。

?an121|?(an?2)2n， …（3分） 证：由于n|1211(an?2)?a?n2?2n收敛，由比较原则知 而,都收敛，故

2nan?n

收敛.。…（5分）

?2z?2zt22??0z?2cos(x?)?t?x?t22、设,证明:。

2证明： 因为

?ztt1??2?2cos(x?)sin(x?)?(?)?sin(2x?t)?t222, …（2分）

?2z?2z?2z?2z??cos(2x?t)??2cos(2x?t)??22?t2?x?t?t?x?t, …（4分） ,

?2z?2z22??0?x?t所以?t …（5分）

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中南民族大学06、07微积分（下）试卷

及参考答案

06年A卷

评分 阅卷人 yf(x?y,)?x2?y2x1、已知,则f(x,y)?_____________.

2、已知,则?

???x2 ?? 0xedx?? 12?x___________.

?

??edx??

223、函数f(x,y)?x?xy?y?y?1在__________点取得极值.

?4、已知f(x,y)?x?(x?arctany)arctany,则fx(1,0)?________.

3xy?(C?Cx)e125、以(C1,C2为任意常数)为通解的微分方程是

____________________.

二、选择题(每小题3分,共15分) 7 知? 0 ??评分 阅卷人 e(1?p)xdx与

? e 1dxxlnp?1x均收敛,

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