近十份大学微积分下期末试题汇总（含答案）

15?()???()2、已2知，则2＝___________.

22f(x,y)?2x?ax?xy?2y在点(1,?1)取得极值，则常数 3、设函数

a?________

?4、已知f(x,y)?x?y(x?4?arctany),则fx(1,0)?________

x3xy?Ce?Ce125、以(C1,C2为任意常数)为通解的微分方程是

__________________. 6、已知? ?? 0e?pxdx与

? e 1dxxlnpx均收敛,

则常数p的取值范围是( ).

(A) p?0 (B) p?0 (C) p?1 (D) 0?p?1

22f(x,y)?x?y7、对于函数,点(0,0)( ).

(A) 不是驻点 (B) 是驻点而非极值点 (C) 是极大值点 (D) 是极小值

I1???(x?y)2d?I2???(x?y)3d?22DD8、已知,,其中D为(x?2)?(y?1)?1,则( ). (A)

I1?I2I12?I22 (B)

I1?I2 (C)

I1?I2 (D)

2x???y?5y?6y?xe9、方程具有特解( ). 2xy?ax?by?(ax?b)e(A) (B) 22x322xy?(ax?bx)ey?(ax?bx)e(C) (D)

10、级数

?(?1)2annn?1?n收敛，则级数

?an?1?n( ).

(A) 条件收敛 (B) 绝对收敛 (C) 发散 (D) 敛散性不定

3y?x11、求,y?0,x?2所围图形绕x轴旋转的旋转体的体积.

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lim(xsin12、求二重极限

x?0y?011?ysin)yx.

2x?y?zz?arctan1?xy,求?x2. 13、设

14、用拉格朗日乘数法求f(x,y)?xy在满足条件x?y?1下的极值.

dx??15、计算

0110xexydy.

16、计算二重积分一象限内的区域.

??Dx2?y2dxdy22x?(y?1)?1所围成的在第yD,其中是由轴及圆周

17、解微分方程xy???y??0.

?2?n!???18、判别级数n?1?n?的敛散性.

19、将函数

?nf(x)?1x展开成(x?3)的幂级数.

20、某工厂生产甲、乙两种产品,单位售价分别为40元和60元,若生产x单位甲产品,生产y单位乙

2220x?30y?0.1(2x?2xy?3y)?100,试求出甲、乙两种产品各生产多少时产品的总费用为

该工厂取得最大利润.

21、设

u?lnx2?y2?z2,证明

1?2u?2u?2u???x2?y2?z2?x2?y2?z2.

22、若

?an?1?2n与

?bn?1?2n都收敛,则

?abn?1?nn收敛.

（可能会有错误大家一定要自己核对）

一、填空题(每小题3分,共15分) 1、设

z?x?y?f(x?y)，且当y?0时，z?x2，则z? 。

22x?2xy?2y?y（）

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2、计算广义积分

xy???1dx1x3= 。（2）

。（e(dx?dy)）

2x22x3、设z?e，则

dz(1,1)?4、微分方程y???5y??6y?xe具有 形式的特解.（(ax?bx)e）

?????1?n?4u15、设?un?1，则

n?1?2n?2n???_________。（1）

二、选择题(每小题3分,共15分)

3sin(x2?y2lim)xy??0221、

0x?y的值为 （ A ）

A.3 B.0 C.2 D.不存在 2、

fx(x0,y0)和fy(x0,y0)存在是函数f(x,y)在点(x0,y0)可微的 （ A ）

。

A.必要非充分的条件； B.充分非必要的条件；

C.充分且必要的条件； D.即非充分又非必要的条件。 3、由曲面

z?4?x2?y2和z?0及柱面x2?y2?1所围的体积是 （D ）。

2?2?21 A.

?0d??0r4?rdr； B.

4?20d??04?r2dr；

2?? C、

?0d??104?r2dr； D.

4?2d??100r4?r2dr

4、设二阶常系数非齐次线性方程y???py??qy?f(x)有三个特解y1?x，yx3?e2，则其通解为 （C ）。

A.x?Cx2x1e?C2e； B.C1x?C2ex?C2x3e；

C.x?C1(ex?e2x)?Cxx2x2x2(x?e)； D.C1(e?e)?C2(e?x) ?(?1)n?15、无穷级数?n?1np(p为任意实数) （D）

A、收敛 B、绝对收敛 C、发散 D、无法判断

三、计算题(每小题6分,共60分)

limxyx1、求下列极限：

y??00xy?1?1。

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y2?ex，

解：

xy(xy?1?1)xy?limlim?0x?0(xy?1)?1xy?1?1xy?0y?0x?0y?0 …（3分）

?lim(xy?1?1)?1?1?2 2、求由y?4 …（6分）

x与直线x?1、x?4、y?0所围图形绕x轴旋转的旋转体的体积。

1解：

Vx???(x)2dx …（4分）

?7.5? …（6分）

?z?z,z?x?y。 e?xyz3、求由所确定的隐函数z?z(x,y)的偏导数

解：方程两边对x求导得:

?zyzz?z?z??e?yz?xyz?x?x,有?xe?xyx(z?1) …（3分）

z方程两边对y求导得:

ez?z?z?zxzz?xz?xy?z??y?y,有?ye?xyy(z?1) …（6分）

322f(x,y)?x?4x?2xy?y4、求函数的极值。 322f(x,y)?x?4x?2xy?y解：，则

fx(x,y)?3x2?8x?2y，

fy(x,y)?2x?2y，

，

fxx(x,y)?6x?8，

fxy(x,y)?2fyy(x,y)??2，

?3x2?8x?2y?0，?2x?2y?0，(0,0)和(2,2). …（2分）

求驻点，解方程组?得

对

(0,0)有fxx(0,0)??8?0，fxy(0,0)?2，fyy(0,0)??2，

2(0,0)是函数的极大值点，且f(0,0)?0 …（4分） 于是B?AC??12?0，所以

对(2,2)有

fxx(2,2)?4，

fxy(2,2)?2，

fyy(2,2)??2，

2于是B?AC?12?0， (2,2)不是函数的极值点。

yd???xy?x,y?2x及x?1,x?2所围成的闭区域；

6、计算积分D,其中D是由直线

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