近十份大学微积分下期末试题汇总（含答案）

22z?x?y?1在条件x?y?1下的极值. 14、用拉格朗日乘数法求

222z?x?(1?x)?1?2x?2x?2 解：

令z'?4x?2?0,得

22x?11x?2,z\?4?0,2为极小值点. (3分)

113(,)故z?x?y?1在y?1?x下的极小值点为22,极小值为2 (6分)

xy15、计算

?1 112 dy?2edx y y.

311I??1dy?2edx?e?e2y82 (6分) 2解：

yxy

16、计算二重积分象限内的区域. 解：

17、解微分方程y???y??x.

????解：令p?y?,y?p,方程化为p?p?x,于是

?(?1)dx(?1)dxp?e?(?xe?dx?C1)?ex(?xe?xdx?C1)22(x?y)dxdy??D22x?y?1所围成的在第一yD，其中是由轴及圆周

22??(x?y)dxdyD?＝?20?d??rdr0＝8 (6分)

13

?ex[?(x?1)e?x?C1]??(x?1)?C1ex (3分) 1y??pdx??[?(x?1)?C1ex]dx??(x?1)2?C1ex?C2?2 (6分)

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18、判别级数n?1?(?n3?1?n3?1)的敛散性.

2n3?1?n3?1 (3分)

n3?1?n3?1?解：

n3?1?n3?1nnlim?lim?133n??n??1n?1?n?1nn 因为 (6分)

119、将函数3?x展开成x的幂级数,并求展开式成立的区间.

111???13?x31?x??xn3,已知 1?xn?0,?1?x?1, (3分) 解：由于

11?xn?1n??()??n?1x3?x3n?03n?03那么 ,?3?x?3. (6分)

20、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料,销售收入R(万元)与电台广告费用x1(万元)的及报纸广告费用x2(万元)之间的关系有如下的经验公式:

2R?15?14x1?32x2?8x1x2?2x12?10x2，

求最优广告策略.

22L?R?x?x?15?13x?31x?8xx?2x?10x12121212解：公司利润为

?1?13?8x2?4x1?0,??Lx?4x1?8x2?13,??2?31?8x1?20x2?0,?Lx?8x?20x2?31,?令即?1

35(x1,x2)?(,)?(0.75,1.25)44得驻点,而 (3分)

??1x1??4?0B?Lx??1x2??8C?Lx??2x2??20A?Lx,,,

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D?AC?B2?80?64?0,

所以最优广告策略为：

电台广告费用0.75(万元),报纸广告费用1.25(万元). (6分)

四、证明题(每小题5分,共10分)

?z?z1?y??y3. 21、设z?ln(x?y)，证明：?x1313x证：

?z??xx?y1313x?2313,?z??y1313x?y (3分)

231313y?2313?z?zx?y?x??x?y?111?x3?x3?113??x3?y3?

x?x?y13?y?x?y1313y?2313???1??3? (6分)

22、若n?1?u?2n与n?1?v?2n都收敛,则n?1?(u?2?v)nn收敛.

222220?(u?v)?u?v?2uv?2(u?v), (3分) nnnnnnnn证：由于

并由题设知n?1?u?2n与n?1?v?2n都收敛,则n?1?2(u?2n2?vn)收敛,

从而n?1

?(u?n?vn)2收敛。 (6分)

06年B卷

一、填空题(每小题3分,共15分)

评分 阅卷人 第 39 页 共 92 页

yf(x?y,)?x2?y2f(x,y)?_____________. x1、设，则

15?()???()2、已2知，则2＝___________.

22f(x,y)?2x?ax?xy?2y在点(1,?1)取得极值，则常数 3、设函数

a?________

.

?4、已知f(x,y)?x?y(x?4?arctany),则fx(1,0)?________.

x3xy?Ce?Ce125、以(C1,C2为任意常数)为通解的微分方程是

__________________.

二、选择题(每小题3分,共15分) 6、已知? 0 ??评分 阅卷人 e?pxdx与

? e 1dxxlnpx均收敛,

则常数p的取值范围是( ).

(A) p?0 (B) p?0 (C) p?1 (D) 0?p?1

22f(x,y)?x?y7、对于函数,点(0,0)( ).

(A) 不是驻点 (B) 是驻点而非极值点 (C) 是极大值点 (D) 是极小值点

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