近十份大学微积分下期末试题汇总（含答案）

浙江大学2007-2008学年春季学期 《微积分Ⅱ》课程期末考试试卷

一 、填空题（每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上） 1.点M（1,－1, 2）到平面x?2y?2z?1?0的距离d = . 2.已知a?2,b?3,a?b?3,则a?b? . 3.设f(u,v)可微，z?f(x,y),则dz= .

4.设f(x)在[0，1]上连续，且f(x)＞0, a与b为常数.D?yx??x,y?0?x?1,0?y?1?,则

??Daf(x)?bf(y)d?= .

f(x)?f(y)5.设f(x,y)为连续函数，交换二次积分次序

?20dx?x2?2x0f(x,y)dy? . 二 、选择题（每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题 目要求的，把所选字母填入题后的括号内）

6.直线l1:

?x?y?6x?1y?5z?5与直线l2:?的夹角为 ??1?21?2y?z?3（A）

???? . （B） . （C） . （D） . [ ] 23467.设f(x,y)为连续函数，极坐标系中的二次积分

?cos?0?20d??f(rcos?,rsin?)rdr可以写成直角坐标中的二次积分为

y?y201?x20（A）（C）

??1010dy?dx?f(x,y)dx （B）?dy?01011?y20x?x20f(x,y)dx

f(x,y)dy [ ]

f(x,y)dy （D）?dx?1?x, 0?x??5?28.设f(x)?? S(x)为f(x)的以2为周期的余弦级数，则S(?)?

2?2?2x,1＜ x ?1??2（A）

1133. （B）?. （C）. （D）?. [ ] 2244第 1 页 共 92 页

?xy,(x,y)?(0,0),?449.设f(x,y)??x?y则f(x,y)在点O(0,0)处

?0, (x,y)?(0,0),?（A）偏导数存在，函数不连续 （B）偏导数不存在，函数连续

（C）偏导数存在，函数连续 （D）偏导数不存在，函数不连续 [ ] 三、解答题

222??2x?3y?z?9 10.（本题满分10分）求曲线L：?2在其上点M（1，－1，2）处的切线方程22??z?3x?y与法平面方程.

11.（本题满分10分）设F可微，z是由F(x?y,y?z,z?x)?0确定的可微函数，并设F2??F3?，求

?z?z?. ?x?y 12.（本题满分10分）设D是由曲线y?x与直线y?x围成的两块有界闭区域的并集，

3求

x??[e?sin(x?y)]d?. D2?x2?9y2?2z2?013.（本题满分10分）求空间曲线L：?上的点到xOy平面的距离最大值与

?x?3y?3z?5最小值.

14.（本题满分10分）设平面区域D=?(x,y)0?x?1,0?y?1?，计算二重积分

22 x?y?1 d?. ??D

15.（本题满分5分）设当y＞0时u(x,y)可微，且已知

du(x,y)?(

yx2?xy)dx?(??x2y?2y)dy. 求u(x,y). 2222x?yx?y第 2 页 共 92 页

浙江大学2007－2008学年春季学期

《微积分II》课程期末考试试卷答案

一、填空题（每小题5分，共25分） 1．d?1?2?4?13?2.

2．a?b?(a?b)?(a?b)?3．dz?f1??yx4．I?a?b?2a?b?4?9?6?19. 22?y?1?f2?yxlnydx?f1??xylnx?f2?xyx?1dy

???af?x??bf?y?af?y??bf?x?d??d?， ????????????fx?fyfy?fxDD ?2I?20???a?b?d?D?a?b,I?01?a?b?. 25．

?dx?x2?2x0f?x,y?dy??dy??11?1?y1?1?yf?x,y?dx

?11?1?y1?1?y0 或 ??0?1dy?1?1??1y?1y x 或 ??dy?f?,x?ydf?x,y?dx.

二、选择题（每小题5分，共20分）

1,?2,1?，l2的方向向量6．选（B）. l1的方向向量???1,?1,2?，

cos???1,?2,1????1,?1,2??3?1,???66623.

7．选（D）. 积分区域D??x,y?x?y?x,y?0，化成直角坐标后故知选（D）.

22??

11111113(f(?0)?f(?0))?(?1)?.

222222240?0?0,fy??0,0??0，偏导数存在. 9．选（A）. fx??0,0??limx?0x8．选（C）. S(?)?S(?)?S()? 取y?kx，limf?x,kx??limx?052k1?k4x?0?k1?k4

随k而异，所以不连续．

三、解答题（10～14每题10分，15题5分，共55分） 10．由L，视x为自变量，有

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dydz?4x?6y?2z?0,?dxdx ?dydz?6x?2y?2z?0.dxdx?以?x,y,z???1,?1,2?代入并解出

dydz,，得 dxdxdy5dz7?,?， dx4dx8所以切线方程为

x?1y?1z?2??，

57148法平面方程为

?x?1???y?1???z?2??0，即8x?10y?7z?12?0.

Fy?Fx?F1??F3?F??F2??z?z?z?zF3??F2?11．????,????1,???1.

?????????xFz?F2?F3?yFz?F2?F3?x?yF3?F212．D在第一象限中的一块记为D1，D在第三象限中的一块记为D2，

5478???eDx2?sin?x?y?d????exd????exd????sin?x?y?d????sin?x?y?d?.

22?D1D2D1D2xed??ed??dxedy?dxe??????3??dy D1D20x?1xx2x21xx20x32???x?x?edx??3x201210?1?x103?x?edx???x?x?edx??x23x2010101?x3?x?edx

x2?2??x?x3?exdx??eudu??ueudu?e?1?(ueu?eu)0?e?1?1?e?210??sin?x?y?d????sin?x?y?d???D1D210dx?3sin?x?y?dy??dx?sin?x?y?dy

x?1xx0x33?dx???cos?x?x3??cos?x?x??dx ????cosx?x?cosx?x??????0??1?3?dx???cos?x?x3??cos?x?x??dx?0 ????cosx?x?cosx?x??????0?1?1010所以，原式?e?2.

13．L上的点到平面xoy的距离为z，它的最大值点，最小值点与z的一致，用拉格朗日乘数法，设F?x,y,z,?,???z??x?9y?2z2222?2????x?3y?3z?5?，

求偏导数，并令其为零有：

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