2017版《三年高考两年模拟》数学（理）汇编专题：空间角与距离

第七节 空间角与距离

A组三年高考真题（2016～2014年）

1.(2014·广东,5)已知向量a＝(1,0,－1),则下列向量中与a成60°夹角的是( ) A.(－1,1,0) B.(1,－1,0)C.(0,－1,1) D.(－1,0,1)

2.(2014·四川,8)如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,点O为线段BD的中点.设点P在线段CC1上,直线OP与平面A1BD所成的角为α,则sin α的取值范围是( )

A.?

3??6??622??22?

B.C.D.

?3，1??3，1??3，3??3，1?

3.(2014·新课标全国Ⅱ,11)直三棱柱ABCA1B1C1中,∠BCA＝90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC＝CA＝CC1,则BM与AN所成角的余弦值为( ) 12302A. B.C.D. 105102

4.(2014·江西,10)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB＝11,AD＝7,AA1＝12.一质点从顶点A射向点E(4,3,12),遇长方体的面反射(反射服从光的反射原理),将第i－1次到第i次反射点之间的线段记为Li(i＝2,3,4),L1＝AE,将线段L1,L2,L3,L4竖直放置在同一水平线上,则大致的图形是( )

5.(2015·四川,14)如图,四边形ABCD和ADPQ均为正方形,它们所在的平面互相垂直,动点M在线段PQ上,E、F分别为AB、BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为θ,则cos θ的最大值为________.

6.(2015·安徽,19)如图所示,在多面体A1B1D1-DCBA,四边形AA1B1B,ADD1A1,ABCD均为正方形,E为B1D1的中点,过A1,D,E的平面交CD1于F. (1)证明：EF∥B1C.

(2)求二面角E-A1D-B1的余弦值.

π7.(2015·重庆,19)如图,三棱锥PABC中,PC⊥平面ABC,PC＝3,∠ACB＝.D,E分别为线段AB,BC

2上的点,且CD＝DE＝2,CE＝2EB＝2. (1)证明：DE⊥平面PCD； (2)求二面角APDC的余弦值.

8.(2015·北京,17)如图,在四棱锥AEFCB中,△AEF为等边三角形,平面AEF⊥平面EFCB,EF∥BC,BC＝4,EF＝2a,∠EBC＝∠FCB＝60°,O为EF的中点. (1) 求证：AO⊥BE；

(2) 求二面角FAEB的余弦值； (3)若BE⊥平面AOC,求a的值.

9.(2015·四川,18)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示,在正方体中,设BC的中点为M,GH的中点为N.

(1)请将字母F,G,H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)； (2)证明：直线MN∥平面BDH； (3)求二面角AEGM的余弦值.

10.(2015·江苏,22)如图,在四棱锥PABCD中,已知PA⊥平面ABCD,且四边形ABCD为直角梯π

形,∠ABC＝∠BAD＝,PA＝AD＝2,AB＝BC＝1.

2(1)求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；

(2)点Q是线段BP上的动点,当直线CQ与DP所成的角最小时,求线段BQ的长.

11.(2015·山东,17)如图,在三棱台DEF-ABC中,AB＝2DE,G,H分别为AC,BC的中点. (1)求证：BD∥平面FGH；

(2)若CF⊥平面ABC,AB⊥BC,CF＝DE, ∠BAC＝45°,求平面FGH与平面ACFD所成的角(锐角)的大小.

12.(2014·陕西,17)四面体ABCD及其三视图如图所示,过棱AB的中点E作平行于AD,BC的平面分别交四面体的棱BD,DC,CA于点F,G,H.

(1)证明：四边形EFGH是矩形；

(2)求直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值.

13.(2014·天津,17)如图,在四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD＝DC＝AP＝2,AB＝1,点E为棱PC的中点. (1)证明：BE⊥DC；

(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；

(3)若F为棱PC上一点,满足BF⊥AC,求二面角FABP的余弦值.

14.(2014·四川,18)三棱锥A-BCD及其侧视图、俯视图如图所示.设M,N分别为线段AD,AB的中点,P为线段BC上的点,且MN⊥NP.

(1)证明：P是线段BC的中点； (2)求二面角A-NP-M的余弦值；

B组两年模拟精选(2016～2015年)

1.(2016·四川成都模拟)在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中,M是AA1的中点,则点A1到平面BDM的距离是( ) A.

63036

aB.aC.aD.a 6643

2.(2016·泰安模拟)已知向量m,n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量,若cos〈m,n〉＝1

－,则l与α所成的角为( ) 2A.30°B.60°C.120°D.150°

3.(2015·宁夏银川调研考试)已知正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长与底面边长相等,则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于( ) A.

61023

B.C.D. 4422

4.(2015·广州模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中,M,N分别为棱AA1和BB1的中点,则sin→→

〈CM,D1N〉的值为( )