高中数学抽象函数问题专题

抽象函数问题专题

抽象函数是相对于具体函数而言的，它是指没有给出具体函数的解析式，仅仅给出函数的部分性质，如函数f (x)满足f (x＋y)＝f (x)＋f (y)等，解题时依据题设所给的条件解决相关问题的一类函数。通过抽象函数设置的考题，主要考查函数的基本性质（单调性、奇偶性和周期性），考查学生的抽象思维、理性思维和严谨细腻的逻辑推理能力，因而它具有抽象性、综合性和技巧性等特点。因此对抽象函数的考查是历年高考的热点、焦点和难点。

由于抽象函数没有给出具体的函数解析式，具有一定的隐藏性和抽象性，不少学生在解决这类问题时不能透彻理解题设条件，缺乏严谨的推理和全面的思考，容易忽视某些隐藏的函数性质。对于抽象函数的考查，主要以选择题、填空题为主，有时也会在大题出现。

一、抽象函数与函数的函数值、定义域、值域、解析式以及复合函数

1

【例1】⑴（04全国IV）设函数f (x)（x∈R）为奇函数，f (1)＝，f (x＋2)＝f (x)＋f (2)，则f (5)

2

＝ ································ （ ）

A．0

B．1

5

C． D．5

2

⑵（2010陕西）下列四类函数中，个有性质“对任意的x＞0，y＞0，函数f (x)满足

f (x＋y)＝f (x)f (y)”的是 ······················ （ C ）

A. 幂函数

B. 对数函数

C. 指数函数

D. 余弦函数

⑶（2011广东文10）设f (x)，g (x)，h (x)是R上的任意实值函数．如下定义两个函数(f g)(x)

和(f ?g)(x)；对任意x∈R，(f g)(x)＝f (g (x))；(f ?g)(x)＝f (x)g (x)．则下列等式恒成立的是 ································· （ ）

A. ((f g) ?h) (x)＝((f ?h)(g ?h))(x) C. ((f g) h) (x)＝((f h)(g h))(x)

B. ((f ?g) h) (x)＝((f h)?(g h))(x) D. ((f ?g) ?h) (x)＝((f ? h)?(g ?h))(x)

【例2】⑴已知函数f (x)的定义域是[1，4]，则f (x＋2)的定义域是 ；

⑵已知函数f (x)的定义域是[1，4]，则f (x)的定义域是 ； ⑶已知函数f (x＋2)的定义域是[1，4]，则f (x)的定义域是 ； ⑷已知函数f (x)的定义域是[1，4]，则f (x)的定义域是 ； ⑸已知函数f (x)的值域是[1，4]，则函数g (x)＝f (x)＋

2

2

2

4

的值域是 . f (x)

【例3】已知f (x)是二次函数，且f (x＋1)＋f (x－1)＝2x－4x，求f (x).

1

【总结】在解决抽象函数与函数的定义、函数值、解析式有关的问题，往往可以考虑换元法、赋值法、待定系数法等。

二、抽象函数与函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值

【例4】⑴若f (x)是周期为T（T > 0）的奇函数，则F(x)＝f (2x－1)·f (2x + 1)是 · （ ）

A. 周期为的奇函数

2C. 周期为的奇函数

4

TB. 周期为的偶函数

2D. 周期为的偶函

4

TTT⑵设f (x)、g (x)都是单调函数，有如下四个命题：

①若f (x)单调递增，g (x)单调递增，则f (x)－g (x)是单调递增； ②若f (x)单调递增，g (x)单调递减，则f (x)－g (x)是单调递增； ③若f (x)单调递减，g (x)单调递增，则f (x)－g (x)是单调递减； ④若f (x)单调递减，g (x)单调递减，则f (x)－g (x)是单调递减.

其中，正确的命题是 ························· （ ）

A. ①③

B. ①④

C. ②③

D. ②④

⑶已知定义在R上的函数f (x)满足f (1－x)＝f (1＋x)，f (3－x)＝f (3＋x)，则 · （ ）

A. f (x)一定是奇函数

C. f (x)的图象一定关于直线x＝－2对称

B. f (x)一定是偶函数

1

D. f (2x)的图象一定关于直线x＝－对称

2

⑷已知y＝f (2x＋1)是偶函数，则函数y=f(2x)的图象的对称轴是 ······· （ ）

A. x＝1

B. x＝2

1

C. x＝－ 2

1D. x＝

2

⑸（2006山东）定义在R上的奇函数f (x)满足f (x＋2)＝－f (x)，则f (6)＝ ·· （ ）

A. －1

B. 0

C. 1

D. 2

?log2(1－x)， x≤0⑹定义在R上的函数f (x)满足f (x)＝? ，则f (2009)的值为（ ）

?f (x－1)－f (x－2)，x＞0

A. －1 B. －2 C. 1 D. 2

【例5】⑴（2011湖南）已知f (x)为奇函数，g (x)＝f (x)＋9，g (－2)＝3，则f (－2)＝ ； 1

⑵（2010重庆）已知函数f (x)满足：f (1)＝，4 f (x) f (y)＝f (x＋y)＋f (x－y（)x，y∈R），则f (2010)

4＝ ；

⑶（06安徽）函数f (x)对于任意实数x满足条件f (x＋2)＝

1

，若f (1)＝－5, 则f (f (5))＝ . f (x)

2

⑷设定义在R上的函数f (x)满足f (x)·f (x＋2)＝13，若f (1)＝2，则f (99)＝ . ⑸已知函数f (x)满足f (x＋1)＝

1＋f (x)

，若f (0)＝2004，f (2011)＝ ，f (2012) ＝ .

1－f (x)

⑹设函数f (x)对任意实数x，y，都有f (x＋y)＝f (x)＋f (y)，若x＞0时f(x)＜0，且f (1)＝－2,则f (x)在[－3，3]上的最大值和最小值分别是 .

【例6】已知函数f (x)的定义域为R，对任意实数m、n满足f (m＋n)＝f (m)＋f (n)－1.

11

且f ()＝2，当x＞－时，f (x)＞0

221

⑴求f (－)的值；

2

⑵证明：f (x)在定义域R是增函数.

x1

【例7】定义在R上的函数f (x)满足f (0)＝0，f (x)＋f (1－x)＝1，f ()＝f (x)，且

52

1

当0≤x1＜x2≤1时，f (x1)≤f (x2)，则f ()＝ ············· （ ）

2012

1A. 2

B. 1 16

C. 1 32

D. 1 64

【总结】用抽象函数考查函数的性质是高考的重点难点，解决这类问题的思维是根据函数各种性质的定义结合已知条件迚行逻辑推理，特别是周期性、对称性，是家常便饭，往往我们都要注意从中挖掘函数的周期，在解决这类问题还要注意结合函数（也可以构造三角函数）的草图加以快速的解答，关于对称问题主要转化为点与直线，点与点的对称而解决. 一般的：

①若定义域为I的函数f (x)满足f (x＋a)＝－f (x)，则f (x)是T＝2a的周期函数； 若定义域为I的函数f (x)满足f (x＋a)＋f (x)＝b，则f (x)是T＝2a的周期函数； ②若定义域为I的函数f (x)满足f (x＋a)＝±

1

，则f (x)是T＝2a的周期函数； f (x)

若定义域为I的函数f (x)满足f (x＋a)·f (x)＝±b，则f (x)是T＝2a的周期函数；

③若定义域为I的函数f (x)满足f (a＋x)＝f (a－x)，f (b＋x)＝f (b－x)（a≠b），则f (x)是周期

3

T＝2(a－b)的周期函数.

④若定义域为I的函数f (x)满足f (a＋x)＝f (a－x)，f (b＋x)＋f (b－x)＝0（a≠b），则f (x)是周期T＝4(a－b)的周期函数.

⑤若定义域为I的函数f (x)满足f (a＋x)＋f (a－x)＝0，f (b＋x)＋f (b－x)＝0（a≠b），则f (x)是周期T＝2(a－b)的周期函数.

1⑥若定义域为I的函数f (x)满足f (x＋a)＝，则f (x)是T＝3a的周期函数.

1－f (x)【特别提醒】

①若函数f (x)在区间D上满足，对于任意x1≠x2，都有在区间D上是增（减）函数；

②若f (x＋a)是偶函数，则f (－x＋a)＝f (x＋a)，函数f (x)的图象关于直线x＝a对称，经常会误认为f (－x－a)＝f (x＋a)；

③若f (x＋a)是奇函数，则f (－x＋a)＝－f (x＋a)，函数f (x)的图象关于点(a，0)对称，经常会误认为f (－x－a)＝－f (x＋a)；

④注意函数图象本身的对称性和两个函数图象的对称性的区别： 1? f (a＋x)＝f (b－x) ? y＝f (x)的图象关于直线x＝f (x1)－f (x2)

＞0（或＜0），则函数f (x)

x1－x2

a＋b2

轴对称；

而函数y＝f (a＋x)与y＝f (b－x) 的图象关于直线x＝2? f (a＋x) + f (b－x)＝c ? y＝f (x)的图象关于点(b－a2

轴对称；

a＋bc2

，)中心对称； 22

，)中心对称. 2

而函数y＝f (a＋x)与y＝c－f (b－x) 的图象关于点(三、抽象函数与导数、不等式

b－ac【例8】⑴（2011辽宁理）函数f (x)的定义域为R，f (－1)＝2，对任意x∈R，f? (x)＞2，则

f (x)＞2x＋4的解集为 ························ （ ）

A．(－1，1)

B．(－1，＋∞)

C．(－∞，－1)

D．(－∞，＋∞)

⑵（04湖南）设f (x)、g (x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，

f ?(x)g (x)＋f (x)g? (x)＞0，且g (3)＝0.则不等式f (x)g(x)＜0的解集是 ···· （ ）

A. (－3，0) ? (3，＋∞) C. (－∞，－3) ? (3，＋∞)

B. (－3，0) ? (0，3) D. (－∞，－3) ? (0，3)

⑶（09陕西－12）定义在R上的偶函数f (x)满足：对任意的x1，x2∈(－∞，0]（x1≠x2），有(x2

－x1)( f (x2)－f (x1))＞0．则当n∈N*时，有················ （ ）

4