四川省广元市2019届高三第三次诊断性考试数学(文)试题

题计分．

22．已知直线l的参数方程为： ，（t为参数）．在以坐标原点0为极点，x轴正半轴为极轴的极

坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ﹣4ρcosθ﹣4ρsinθ+4＝0． （Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程； （Ⅱ）设直线l与曲线C交于A，B两点，求23．[选修4-5：不等式选讲] 已知函数f（x）＝|2x﹣1|﹣|x+1|． （I）求不等式f（x）≤﹣1的解集M；

（Ⅱ）结合（I），若m是集合M中最大的元素，且a+b＝m（a＞0，b＞0），求 的最大值．

2

的值．

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1．A 2．D 3．C 4．B 5．C 6．B 7．B 8．D 9．A 10．D 11．C 12．A

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 13．﹣1． 14．10． 15．

．

x

x

16．设g（x）＝ef（x）﹣e，（x∈R），

则g′（x）＝ef（x）+ef′（x）﹣e＝e[f（x）+f′（x）﹣1]， ∵f（x）+f′（x）＞1， ∴f（x）+f′（x）﹣1＞0， ∴g′（x）＞0，

∴y＝g（x）在定义域上单调递增， ∵ef（x）＞e+3， ∴g（x）＞3，

又∵g（0）═ef（0）﹣e＝4﹣1＝3， ∴g（x）＞g（0）， ∴x＞0

0

0

x

xx

x

x

x

三、解答题：（本大题共5小题，第22（或23）小题10分，其余每题12分，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程、计算步骤.）

17．（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sinC≠0

已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）＝sinC， 整理得：2cosCsin（A+B）＝sinC， 即2cosCsin（π﹣（A+B））＝sinC 2cosCsinC＝sinC ∴cosC ， ∴C ；

（Ⅱ）由余弦定理得7＝a+b﹣2ab?，

2

2

∴（a+b）﹣3ab＝7， ∵S absinC ab ， ∴ab＝6，

∴（a+b）﹣18＝7， ∴a+b＝5，

∴△ABC的周长为5 ．

18．（I）由统计数据填写的2×2列联表如下：

支持 不支持 总计

2

2

年龄45岁以下 35 15 50 年龄45岁以上 45 5 50 总计 80 20 100 6.25＞3.841，

∴有95%的把握认为以45岁为分界点的同人群对“延迟退休年龄政策”的态度有差异．即在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异； （Ⅱ）从调查的100人中年龄在15～25，25～35两组按分层抽样的方法抽取6人参加某项活动， 在15～25，25～35两组共有30人，

15～25组有100×0.02×10＝20人，抽取20 4人，设抽取的4人为A，B，C，D，

25～35组有100×0.01×10＝10人，抽取10 2人，设抽取的2人为a，b，

现从这6人中随机抽2人的基本事件为：AB，AC，AD，Aa，Ab，BC，BD，Ba，Bb，CD，Ca，Cb，Da，Db，ab，15种情况；

这2人中至少1人的年龄在25～35之间的概率是

．

所以这2人中至少1人的年龄在25～35之间的概率是．

19．（I）证明：∵Rt△ABC如图（1），∠C＝90°，（D)E分别是AC，AB的中点， 将△ADE沿DE折起到PDE位置（即A点到P点位置）如图（2）使∠PDC＝60°． ∴DE⊥DC，DE⊥PD，DE∥BC，

∵PD∩DC＝D，∴DE⊥平面PCD，∴BC⊥平面PCD， ∵PC?平面PCD，∴BC⊥P（C)

（Ⅱ）解：∵（D)E分别是AC，AB的中点，∠PDC＝60°，BC＝2CD＝4， ∴CD＝PD＝PC＝2，

取CD中点O，BE中点M，连结PO，MO，则OP，OD，OM两两垂直， 以O为原点，OD为x轴，OM为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系， 则D（1，0，0），P（0，0， ），B（﹣1，4，0），E（1，2，0）， （1，0， ）， （﹣1，4， ）， （1，2， ）， 设平面PBE的法向量 （x，y，z），

则 ，取x＝1，得 （1，1， ），

∴点D到平面PBE的距离为：

d ．