【20套精选试卷合集】陕西省榆林市第二中学2019-2020学年高考数学模拟试卷含答案

因为MN＝2，所以AM＝

43

sin(120°－θ) ． ………………2分 3

在△APM中，cos∠AMP＝cos(60°＋θ)． …………………6分 AP2＝AM2＋MP2－2 AM·MP·cos∠AMP ＝分

＝

162163

sin(θ＋60°)－ sin(θ＋60°) cos(θ＋60°)＋4 33

16243sin(120°－θ)＋4－2×2× sin(120°－θ) cos(60°＋θ) ………………………………833

883＝[1－cos (2θ＋120°)]－ sin(2θ＋120°)＋4 33820＝－[3sin(2θ＋120°)＋cos (2θ＋120°)]＋

33＝

2016

－sin(2θ＋150°)，θ∈(0，120°)． …………………………………………12分 33

当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值23．

答：设计∠AMN为60?时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．……………………………………14分

解法二(构造直角三角形)： 设∠PMD＝θ，在△PMD中，

∵PM＝2，∴PD＝2sinθ，MD＝2cosθ． ……………2分 MNAM在△AMN中，∠ANM＝∠PMD＝θ，∴＝，

sin60°sinθAM＝

4343π

sinθ，∴AD＝sinθ＋2cosθ，(θ≥时，结论也正确)．……………A 6分 332

第17题图

M P

N

C

D B 43

AP2＝AD2＋PD2＝(sinθ＋2cosθ)2＋(2sinθ)2

3＝＝＝

16283sinθ＋sinθcosθ＋4cos2θ＋4sin2θ …………………………8分 33161－cos2θ4343820·＋sin2θ＋4＝sin2θ－cos2θ＋ 323333

2016π2π

＋sin(2θ－)，θ∈(0，)． …………………………12分 3363πππ 当且仅当2θ－＝，即θ＝时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值23．

623

此时AM＝AN＝2，∠PAB＝30° …………………………14分 解法三：设AM＝x，AN＝y，∠AMN＝α．

在△AMN中，因为MN＝2，∠MAN＝60°， 所以MN2＝AM2＋AN2－2 AM·AN·cos∠MAN，

即x2＋y2－2xycos60°＝x2＋y2－xy＝4． …………………………………………2分

因为

MNAN2y

＝，即＝， sin60°sinαsin60°sinα

x2＋4－y2x2＋(x2－xy)2x－y3

所以sinα＝y，cosα＝＝＝． …………………………………………6

44x42×2×x分

1312x－y33x－2y

cos∠AMP＝cos(α＋60°)＝cosα－sinα＝·－·y＝．……………………………8

2224244分

在△AMP中，AP2＝AM2＋PM2－2 AM·PM·cos∠AMP， 即AP2＝x2＋4－2×2×x×分

因为x2＋y2－xy＝4，4＋xy＝x2＋y2≥2xy，即xy≤4． 所以AP2≤12，即AP≤23．

当且仅当x＝y＝2时，AP取得最大值23．

答：设计AM＝AN＝2 km时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．………………………………14分 解法四(坐标法)：以AB所在的直线为x轴，A为坐标原点，建立直角坐标系． 设M(x1，0)，N(x2，3x2)，P(x0，y0)．∵MN＝2，

∴(x1－x2)2＋3x22＝4． …………………………………………2分 x1＋x23MN的中点(，x2)．

22

∵△MNP为正三角形，且MN＝2．∴P＝3，P⊥MN． ∴P2＝(x0－

x1＋x223

)＋(y0－x2)2＝3， 22

y0－x－2y

＝x2＋4－x(x－2y)＝4＋2xy．………………………………………124

3x223x2

kMN·kP＝－1，即·＝－1， …………………………………………6分

x2－x1x1＋x2

x0－

2x1－x2x1＋x2x1＋x22332(x1－x2)2

∴y0－x2＝(x0－)，∴(y0－x2)＝(x0－)

22223x23x22

(x1－x2)2x1＋x22x1＋x22x1＋x22924∴(1＋)(x0－)＝3，即(x0－)＝3，∴(x0－)＝x2．

222243x23x22x1＋x2x1＋x23

∵x0－＞0 ∴x0－＝x2，

222

13

∴x0＝x1＋2x2，∴y0＝x1． …………………………………………8分

222＝(2x2＋1x1)2＋3x2＝x2＋4x2＋2x1x2

∴AP2＝x2＋y0022411

＝4＋4x1x2≤4＋4×2＝12， …………………………………………12分

即AP≤23．

答：设计AM＝AN＝2 km时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………………………14分 解法五(变换法)：以AB所在的直线为x轴，A为坐标原点，建立直角坐标系．

设M(x1，0)，N(x2，3x2)，P(x0，y0)．

22∵MN＝2，∴(x1－x2)2＋3x22＝4．即x1＋4x2＝4＋2x1x2 ∴4＋2x1x2≥4x1x2，即x1x2≤2． …………………4分 ∵△MNP为正三角形，且MN＝2．∴P＝3，P⊥MN． →→MN顺时针方向旋转60°后得到MP． →→

MP＝(x0－x1，y0)，MN＝(x2－x1，3x2)． 3

??x－x??122?x－x?，即

∴?＝???31? 3x??y?

?－2 2?

2

1

0

1

2

0

y C P N x A M B 1333

x0－x1＝(x2－x1)＋x2，y0＝－(x2－x1)＋x2．

2222

13

∴x0＝2x2＋x1，y0＝x1． …………………………………………8分

222＝(2x2＋1x1)2＋3x2＝x2＋4x2＋2x1x2

∴AP2＝x2＋y0022411

＝4＋4x1x2≤4＋4×2＝12， …………………………………………12分 即AP≤23．

答：设计AM＝AN＝2 km时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………………………14分 解法六(几何法)：由运动的相对性，可使△PMN不动，点A在运动．

由于∠MAN＝60°，∴点A在以MN为弦的一段圆弧(优弧)上，…………4分 设圆弧所在的圆的圆心为F，半径为R，

由图形的几何性质知：AP的最大值为PF＋R． …………8分 MN在△AMN中，由正弦定理知：＝2R，

sin60°

A 2

∴R＝， …………10分

3∴FM＝FN＝R＝

2

，又PM＝PN，∴PF是线段MN的垂直平分线． 3

N

E F

M B C P 1

设PF与MN交于E，则FE2＝FM2－ME2＝R2－12＝．

3即FE＝∴PF＝

3

，又PE＝3． ……………………………12 3

4

，∴AP的最大值为PF＋R＝23． 3

答：设计AM＝AN＝2 km时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………………………14分 18． (本小题满分16分)

x2y2

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C∶2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2，

ab一条准线方程为x＝2．P为椭圆C上一点，直线PF1交椭圆C于另一点Q． （1）求椭圆C的方程；

（2）若点P的坐标为(0，b)，求过P，Q，F2三点的圆的方程； 1→→→→（3）若F1P＝λQF1，且λ∈[，2]，求OP·OQ的最大值．

2＝2，??2c2

（1）解：由题意得?a 解得c＝1，a2＝2，所以b2＝a2－c2＝1．

＝2，?c?

x2

所以椭圆的方程为＋y2＝1． …………………………………………2分

2 （2）因为P(0，1)，F1(－1，0)，所以PF1的方程为x－y＋1＝0．

4

x＋y＋1＝0，x＝－，??2?x＝0，341

?由?x 解得或所以点Q的坐标为(－，－)． ……………………4分 2＝1，133y＝1，＋y??2?y＝－，

3

???

解法一：因为kPF1·kPF2＝－1，所以△PQF2为直角三角形． ……………………6分 1152因为QF2的中点为(－，－)，QF2＝，

663

1125

所以圆的方程为(x＋)2＋(y＋)2＝． ……………………8分

6618解法二：设过P，Q，F2三点的圆为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， ＋E＋F＝0，??11＋D＋F＝0，

则? 解得?1741

?9－3D－3E＋F＝0，

1D＝，31

E＝，

34F＝－．

3

?

114

所以圆的方程为x2＋y2＋x＋y－＝0． …………………………………………8

333分

→→（3）解法一：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则F1P＝(x1＋1，y1)，QF1＝(－1－x2，－y2)．

?x1＋1＝λ(－1－x2)，?x1＝－1－λ－λx2，→→因为F1P＝λQF1，所以?即?

?y1＝－λy2，?y1＝－λy2，

(－1－λ－λx2)2

＋λ2y22＝1，21－3λ

所以2解得x2＝． …………………………………………12

2λx2

＋y22＝1，2

?????

分

λ2→→所以OP·OQ＝x1x2＋y1y2＝x2(－1－λ－λx2)－λy22＝－2x2－(1＋λ)x2－λ

1－3λλ1－3λ2751＝－()－(1＋λ)·－λ＝－(λ＋) ． …………………………………………14分

22λ2λ48λ 1111因为λ∈[，2]，所以λ＋≥2λ·＝2，当且仅当λ＝，即λ＝1时，取等号．

2λλλ