2013年辽宁省抚顺市中考数学试卷及答案（Word解析版）

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、 “ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质以及含30度的直角三角形三边的关系． 八、解答题 26．（2013?抚顺）如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=2

﹣x+bx+c经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶点为D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在第三象限内，F为抛物线上一点，以A、E、F为顶点的三角形面积为3，求点F的坐标；

（3）点P从点D出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形？直接写出所有符合条件的t值．

考点：二次函数综合题 分析：（1）先由直线AB的解析式为y=x+3，求出它与x轴的交点A、与y轴的交点B的 2坐标，再将A、B两点的坐标代入y=﹣x+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式； 2（2）设第三象限内的点F的坐标为（m，﹣m﹣2m+3），运用配方法求出抛物线的

对称轴及顶点D的坐标，再设抛物线的对称轴与x轴交于点G，连接FG，根据S△AEF=S△AEG+S△AFG﹣S△EFG=3，列出关于m的方程，解方程求出m的值，进而得出点F的坐标； 2（3）设P点坐标为（﹣1，n）．先由B、C两点坐标，运用勾股定理求出BC=10，222再分三种情况进行讨论：①∠PBC=90°，先由勾股定理得出PB+BC=PC，据此列出关于n的方程，求出n的值，再计算出PD的长度，然后根据时间=路程÷速度，即可求出此时对应的t值；②∠BPC=90°，同①可求出对应的t值；③∠BCP=90°，同①可求出对应的t值． 解答：解： （1）∵y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴当y=0时，x=﹣3，即A点坐标为（﹣3，0）， 当x=0时，y=3，即B点坐标为（0，3）， 2将A（﹣3，0），B（0，3）代入y=﹣x+bx+c， 得解得， 2， ∴抛物线的解析式为y=﹣x﹣2x+3； （2）如图1，设第三象限内的点F的坐标为（m，﹣m﹣2m+3），则m＜0，﹣m﹣2m+3＜0． 22∵y=﹣x﹣2x+3=﹣（x+1）+4， ∴对称轴为直线x=﹣1，顶点D的坐标为（﹣1，4）， 设抛物线的对称轴与x轴交于点G，连接FG，则G（﹣1，0），AG=2． ∵直线AB的解析式为y=x+3， ∴当x=﹣1时，y=﹣1+3=2， ∴E点坐标为（﹣1，2）． ∵S△AEF=S△AEG+S△AFG﹣S△EFG=×2×2+×2×（m+2m﹣3）﹣×2×（﹣1﹣m）=m+3m， 2∴以A、E、F为顶点的三角形面积为3时，m+3m=3， 解得m1=当m=，m2=22222（舍去）， 2时，﹣m﹣2m+3=﹣m﹣3m+m+3=﹣3+m+3=m=，）； ， ∴点F的坐标为（ （3）设P点坐标为（﹣1，n）． ∵B（0，3），C（1，0）， 222∴BC=1+3=10． 分三种情况： ①如图2，如果∠PBC=90°，那么PB+BC=PC， 2222即（0+1）+（n﹣3）+10=（1+1）+（n﹣0）， 222

化简整理得6n=16，解得n=， ∴P点坐标为（﹣1，）， ∵顶点D的坐标为（﹣1，4）， ∴PD=4﹣=， ∵点P的速度为每秒1个单位长度， ∴t1=； ②如图3，如果∠BPC=90°，那么PB+PC=BC， 2222即（0+1）+（n﹣3）+（1+1）+（n﹣0）=10， 2化简整理得n﹣3n+2=0，解得n=2或1， ∴P点坐标为（﹣1，2）或（﹣1，1）， ∵顶点D的坐标为（﹣1，4）， ∴PD=4﹣2=2或PD=4﹣1=3， ∵点P的速度为每秒1个单位长度， ∴t2=2，t3=3； 222③如图4，如果∠BCP=90°，那么BC+PC=PB， 2222即10+（1+1）+（n﹣0）=（0+1）+（n﹣3）， 化简整理得6n=﹣4，解得n=﹣， ∴P点坐标为（﹣1，﹣）， ∵顶点D的坐标为（﹣1，4）， ∴PD=4+=， 222∵点P的速度为每秒1个单位长度， ∴t4=； 秒时，以P、B、C为顶点的三角形是直角三综上可知，当t为秒或2秒或3秒或角形．

点评：本题考查了二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求抛物线的 解析式，函数图象上点的坐标特征，抛物线的顶点坐标和三角形的面积求法，直角三角形的性质，勾股定理．综合性较强，难度适中．（2）中将△AEF的面积表示成S△AEG+S△AFG﹣S△EFG，是解题的关键；（3）中由于没有明确哪一个角是直角，所以每一个点都可能是直角顶点，进行分类讨论是解题的关键．