一轮复习配套讲义：第4篇 第1讲 平面向量的概念及其线性运算 doc

学海无涯

第1讲 平面向量的概念及其线性运算

[最新考纲]

1．了解向量的实际背景．

2．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义． 3．理解向量的几何表示．

4．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．

5．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义． 6．了解向量线性运算的性质及其几何意义.

知 识 梳 理

1．向量的有关概念

定义 方向相同或相反的非零向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量 长度相等且方向相同的向量 长度相等且方向相反的向量 2.向量的线性运算

向量 运算 定 义 法则(或几何意义) 运算律 备注 0与任一向量平行或共线 两向量只有相等或不等，不能比较大小 0的相反向量为0 名称 平行向量 共线向量 相等向量 相反向量 学海无涯

加法 求两个向量 和的运算 三角形法则 (1)交换律： a＋b＝b＋a. (2)结合律： (a＋b)＋c＝ a＋(b＋c) 平行四边形法则 续表

减法 求a与b的 相反向量 －b的和的 运算叫做 a与b的差 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与 三角形法则 (1)|λa|＝|λ||a|； λ(μa)＝λμa； 学海无涯

向量a的积 的运算 3.共线向量定理 (2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向(λ＋μ)a＝λa＋μa； 相同；当λ＜0时，λa的方向与a的λ(a＋b)＝λa＋λb 方向相反；当λ＝0时，λa＝0 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.

辨 析 感 悟

1．对共线向量的理解

(1)若向量a，b共线，则向量a，b的方向相同． (2)若a∥b，b∥c，则a∥c.

(×)

(×)

(3)(2013·郑州调研改编)设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与2a－b共线，1则λ＝－2.

(√)

(4)(2013·陕西卷改编)设a，b为向量，则“|a·b|＝|a|·|b|”是“a∥b”的充分必要条件．

2．对向量线性运算的应用 →→→→(5)AB＋BC＋CD＝AD.

(√)

(√)

→1→→

(6)(教材习题改编)在△ABC中，D是BC的中点，则AD＝2(AC＋AB)．

学生用书

[感悟·提升]

第69页 (√)

学海无涯

1．一个区别 两个向量共线与两条线段共线不同，前者的起点可以不同，而后者必须在同一直线上．同样，两个平行向

量与两条平行直线也是不同的，因为两个平行向量可以移到同一直线上． 2．两个防范 一是两个向量共线，则它们的方向相同或相反；如(1)；二是注重零向量的特殊性，如(2).

考点一 平面向量的有关概念

【例1】 给出下列命题：

→→

①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.

其中真命题的序号是________．

解析 ①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同． →→

②正确．∵AB＝DC， →→→→∴|AB|＝|DC|且AB∥DC，

又∵A，B，C，D是不共线的四点， ∴四边形ABCD为平行四边形；