2015届高考数学 考前三个月 必考题型过关练 第4练 再谈“三个二次”的转化策略 理

方程f(x)＝x1和f(x)＝x2的不等实根的个数之和，再结合图象可看出函数y＝f(x)的图象与直线y＝x1和直线y＝x2共有3个不同的交点，故所求方程有3个不同的实根．

7．若关于x的不等式(2x－1)

?2549?答案 ?，? ?916?

解析 因为不等式等价于(－a＋4)x－4x＋1<0，其中(－a＋4)x－4x＋1＝0中的Δ＝4a>0，

11111

且有4－a>0，故0

2＋a2－a42＋a21?2549?所求的整数解集．所以3<≤4，解得a的范围为?，?.

?916?2－a8．已知函数f(x)＝x－2ax＋2，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，则a的取值范围________． 答案 [－3,1]

解析 因为f(x)＝(x－a)＋2－a， 所以此二次函数图象的对称轴为x＝a.

①当a∈(－∞，－1)时，f(x)在[－1，＋∞)上单调递增， 所以f(x)min＝f(－1)＝2a＋3.

要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a， 即2a＋3≥a，解得a≥－3，即－3≤a<－1. ②当a∈[－1，＋∞)时，f(x)min＝f(a)＝2－a. 要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a， 即2－a≥a，解得－2≤a≤1，即－1≤a≤1. 综上，实数a的取值范围为[－3,1]．

9．已知函数f(x)＝2ax＋2x－3.如果函数y＝f(x)在区间[－1,1]上有零点，则实数a的取值范围为______________．

?1?答案 ?，＋∞? ?2?

解析 若a＝0，则f(x)＝2x－3，

3

f(x)＝0?x＝?[－1,1]，不合题意，故a≠0.

2下面就a≠0分两种情况讨论：

15

①当f(－1)·f(1)≤0时，f(x)在[－1,1]上有一个零点，即(2a－5)(2a－1)≤0，解得≤a≤. 22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

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??1②当f(－1)·f(1)>0时，f(x)在[－1,1]上有零点的条件是?－1<－<1，

2a??f?－1?·f?1?>0，

5

得a>.

2

f?－?f?1?≤0，?2a?

?

1?

解

?1?综上，实数a的取值范围为?，＋∞?. ?2?

π2

10．已知定义在R上的单调递增奇函数f(x)，若当0≤θ≤时，f(cosθ＋2msin θ)＋f(－

22m－2)<0恒成立，则实数m的取值范围是________．

1

答案 (－，＋∞)

2

解析 方法一 f(cosθ＋2msin θ)＋f(－2m－2)<0?f(cosθ＋2msin θ)－1－sinθ.

π

当θ＝时，2m·0>－2，此时m∈R；

2

2

π1＋sinθ

当0≤θ<时，m>－，令t＝1－sin θ，

22?1－sin θ?

2

11＋?1－t?12

则t∈(0,1]，此时m>－×＝－(t＋－2)．

2t2t12

设φ(t)＝－(t＋－2)，

2t1

而φ(t)在t∈(0,1]上的值域是(－∞，－]，

2

1

故m>－. 2方法二 同方法一，求得2m(1－sin θ)>－1－sinθ， 设sin θ＝t，则t－2mt＋2m＋1>0对于t∈[0,1]恒成立． 设g(t)＝t－2mt＋2m＋1，其图象的对称轴方程为t＝m. ①当m<0时，g(t)在[0,1]上单调递增，

1

从而g(0)＝2m＋1>0，即m>－，

2

1

又m<0，所以－

2

②当0≤m≤1时，g(t)在[0，m]上单调递减，在[m,1]上单调递增， 从而g(m)＝m－2m＋2m＋1>0，即m－2m－1<0， 所以1－2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

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③当m>1时，g(t)在[0,1]上单调递减，

从而g(1)＝1－2m＋2m＋1＝2>0恒成立，所以m>1.

1

综合①②③，可知m>－.

2

?π?2

11．已知函数f(x)＝2asinx－2 3asin xcos x＋a＋b(a≠0)的定义域是?0，?，值域是[－

2??

5,1]，求常数a，b的值．

1

解 f(x)＝2a·(1－cos 2x)－ 3asin 2x＋a＋b

23?1?

＝－2a?cos 2x＋sin 2x?＋2a＋b

2?2?π??＝－2asin?2x＋?＋2a＋b， 6??πππ7

又∵0≤x≤，∴≤2x＋≤π，

2666

π?1?∴－≤sin?2x＋?≤1. 6?2?因此，由f(x)的值域为[－5,1]

a>0，

??1

可得?－2a×?－?＋2a＋b＝1，

2

??－2a×1＋2a＋b＝－5，

a<0，??－2a×1＋2a＋b＝1，或?

1

－2a×?－?＋2a＋b＝－5，??2

??a＝2，解得?

?b＝－5?

2

??a＝－2，或?

?b＝1.?

2

12．已知函数f(x)＝ax＋ax和g(x)＝x－a，其中a∈R，且a≠0.若函数f(x)与g(x)的图象相交于不同的两点A、B，O为坐标原点，试求△OAB的面积S的最大值． 解 依题意，f(x)＝g(x)，即ax＋ax＝x－a， 整理得ax＋(a－1)x＋a＝0，①

∵a≠0，函数f(x)与g(x)的图象相交于不同的两点A、B， ∴Δ>0，即Δ＝(a－1)－4a＝－3a－2a＋1 ＝(3a－1)(－a－1)>0，

1

∴－1

3

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1

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2

2

2

2

由①得xa－1

1x2＝1>0，x1＋x2＝－

a. 设点O到直线g(x)＝x－a的距离为d，

则d＝|－a|2，

∴S＝121＋12

|xx|－a|1－2|·2 ＝

12

－3a2

－2a＋1 ＝12

－3???a＋13??2?＋43. ∵－1

3

且a≠0，

∴当a＝－13

3时，S取得最大值3

.

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