新课标2020年高考数学一轮总复习第七章立体几何7_3空间点直线平面之间的位置关系课时规范练文新人教A版

7-3 空间点、直线、平面之间的位置关系

课时规范练 A组 基础对点练

1．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l?α，l?β，则( D ) A．α∥β且l∥α B．α⊥β且l⊥β

C．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l

2．若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是( D ) A．l1⊥l4 B．l1∥l4

C．l1与l4既不垂直也不平行 D．l1与l4的位置关系不确定

3．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面( C ) A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α B．若m∥β，β⊥α则m⊥α C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α则m⊥α D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α

4．若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的( B ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

5．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m?α，n∥α，则m∥n；

②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ； ③若α∩β＝n，m∥n，则m∥α，且m∥β； ④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β. 其中真命题的个数为( B ) A．0 C．2

B.1 D.3

6．已知l，m，n为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，则下列判断正确的是( C )

1

A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n C．若α∩β＝l，m∥α，m∥β，则m∥l

D．若α∩β＝m，α∩γ＝n，l⊥m，l⊥n，则l⊥α

33

7．(2018·新疆检测)在空间中，与边长均为3 cm的△ABC的三个顶点的距离均为 cm

4的平面的个数为( D ) A．2 C．4

B.3 D.5

33

解析：若△ABC的顶点在平面的同侧，则到△ABC的三个顶点的距离均为 cm的平面有2

4个．如图，分别取AC，AB，BC的中点E，F，D，连接EF，FD，DE，AD，因为正三角形ABC33

的边长为3 cm，所以△ABC的高AD为 cm.所以当平面经过△ABC的中位线EF，且与△

2

ABC所在平面垂直时，平面与△ABC的三个顶点的距离均为

33

cm.同理，当平面经过DE，4

FD且与△ABC所在平面垂直时，也满足题意，故这样的平面有3个．综上可知，所有满足条

件的平面共有5个，故选D.

8．(2018·陕西质检)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长AB＝a，连接AC，AD1，D1C，B1D1，则B1D1与平面ACD1所成角的余弦值为

3 . 3

解析：连接BD，交AC于点O，连接D1O，作DP⊥D1O于点P，则易证AC⊥平面DD1O，所以AC⊥DP.又DP⊥D1O，D1O∩AC＝O，所以DP⊥平面ACD1，所以BD与平面ACD1所成的角为∠DOD1.又BD∥B1D1，故B1D1与平面ACD1所成的角为∠DOD1.在Rt△DOD1中，由DD1＝a，DO＝2

a，可2

2

2a6DO233

得D1O＝a，所以cos∠DOD1＝＝＝.故B1D1与平面ACD1所成角的余弦值为.

2D1O336

a29．(2018·广西两校联考)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，AA1＝1，则异面直线

AB1与BC1所成角的余弦值为

2 . 10

解析：如图，连接AD1，因为AD1∥BC1，所以异面直线AB1与BC1所成的角即∠B1AD1.连接B1D1，根据勾股定理，易知AD1＝5，AB1＝10，B1D1＝13，所以在△B1AD1中，由余弦定理，得5＋10－1322cos∠B1AD1＝＝.故异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为.

102×5×1010

10．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α∥β；②若α外的一条直线l与α内的一条直线平行，则l∥

α；③设α∩β＝l，若α内有一条直线垂直于l，则α⊥β；④直线l⊥α的充要条件

是l与α内的两条直线垂直．其中所有的真命题的序号是__①②__.

11．若α，β是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为__②④__.(写出所有真命题的序号)

①若直线m⊥α，则在平面β内，一定不存在与直线m平行的直线； ②若直线m⊥α，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m垂直； ③若直线m?α，则在平面β内，不一定存在与直线m垂直的直线； ④若直线m?α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．

12．(2018·沈阳质检)如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.

(1)求证：E，F，G，H四点共面；

(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线． 证明：(1)∵E，F分别为AB，AD的中点， ∴EF∥BD.

3

BGDH1

∵在△BCD中，＝＝，

GCHC2

∴GH∥BD，∴EF∥GH. ∴E，F，G，H四点共面．

(2)∵EG∩FH＝P，P∈EG，EG?平面ABC， ∴P∈平面ABC.同理P∈平面ADC. 即P为平面ABC与平面ADC的公共点． 又平面ABC∩平面ADC＝AC， ∴P∈AC，∴P，A，C三点共线．

B组 能力提升练

1．设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是( B ) A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β C．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β

解析：对于A选项，设α∩β＝a，若l∥a，且l?α，l?β，则l∥α，l∥β，此时α与

β相交，故A错误；对于B选项，l∥α，l⊥β，则存在直线a?α，使得l∥a，此时a⊥β，由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β，故B正确；对于C选项，若α⊥β，l⊥α，则l∥β或l?β，故C错误；对于D选项，若α⊥β，l∥α，则l与β的位置关系不确定，故D错误．故选B.

2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是( B ) A．m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n B．m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n C．m⊥α，m⊥n，n?β，则α⊥β D．m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β

解析：A：m与n的位置关系为平行，异面或相交，∴A错误；B：根据面面垂直的性质可知正确；C：由题中的条件无法推出α⊥β，∴C错误；D：只有当m与n相交时，结论才成立，∴D错误．故选B.

3．下列命题中，正确的是( D )

A．若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a?α，b?β，则a，b是异面直线 B．若a，b是两条直线，且a∥b，则直线a平行于经过直线b的所有平面 C．若直线a与平面α不平行，则此直线与平面内的所有直线都不平行

D．若直线a∥平面α，点P∈α，则平面α内经过点P且与直线a平行的直线有且只有一条

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