第36-40课时 参数取值问题的题型与方法

宁乡县第二中学2004-2005学年度高三数学教案 任教班级:C146-147

例7．对于满足|p|?2的所有实数p,求使不等式x2+px+1>2p+x恒成立的x的取值范围。

分析：在不等式中出现了两个字母：x及P,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将p视作自变量，则上述问题即可转化为在[?2，2]内关于p的一次函数大于0恒成立的问题。

22

略解：不等式即(x?1)p+x?2x+1>0,设f(p)= (x?1)p+x?2x+1,则f(p)在[?2,2]上恒大于0，故有：

2??x?3或x?1?f(?2)?0?x?4x?3?0即解得： ???2??f(2)??x?1或x??1?x?1?0∴x3.

例8.设f(x)=x2?2ax+2,当x?[?1,+?)时，都有f(x)?a恒成立，求a的取值范围。

分析：题目中要证明f(x)?a恒成立，若把a移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间[?1,+?)时恒大于0的问题。

解：设F(x)= f(x)?a=x2?2ax+2?a.

ⅰ)当?=4（a?1)(a+2)<0时，即?2

ⅱ）当?=4（a?1)(a+2) ?0时由图可得以下充要条件：

????0?(a?1)(a?2)?0??即?a?3?0 ?f(?1)?0?a??1,??2a????1,?2?得?3?a??2;

综合可得a的取值范围为[?3，1]

y -1 o x 说明：若二次函数y=ax+bx+c=0(a≠0)大于0

2

?a?0恒成立，则有????0

若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。

例9．关于x的方程9x+(4+a)3x+4=0恒有解，求a的范围。

y xx

分析：题目中出现了3及9，故可通过换元转化成二次函数型求解。

4 解法1（利用韦达定理）：

设3x=t,则t>0.则原方程有解即方程t2+(4+a)t+4=0有正根。

o ???0???x1?x2??(4?a)?0 即?x?x?4?02?1

247

x 宁乡县第二中学2004-2005学年度高三数学教案 任教班级:C146-147

?(4?a)2?16?0?a?0或a??8 ????a??4?a??4解得a??8.

解法2（利用根与系数的分布知识）：

22

即要求t+(4+a)t=0有正根。设f(x)= t+(4+a)t+4. 02y 1.?=0,即（4+a）?16=0,∴a=0或a=?8. a=0时，f(x)=(t+2)2=0,得t=?2<0，不合题意；

24 a=?8时，f(x)=(t?2)=0,得t=2>0,符合题意。

∴a=?8. 0

2. ?>0,即a0时， o 4?a∵f(0)=4>0,故只需对称轴??0，即a

2∴a

综合可得a??8. 三、解析几何中确定参变量的取值范围历来是各级各类测试及高考命题的热点。由于此类问题综合性强，且确定参变量取值范围的不等量关系也较为隐蔽，因而给解题带来了诸多困难。为此，我们有必要总结和归纳如何寻找或挖掘不等量关系的策略和方法。

在几何问题中，有些问题和参数无关，这就构成定值问题，解决这些问题常通过取参数和特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式来证明该式是恒定的。

解析几何中的最值问题，一般先根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式手特征选用参数法，配方法，判别式法，应用不等式的性质，以及三角函数最值法等求出它的最大值或最小值。

充分运用各种方法学会解圆锥曲线的综合问题（解析法的应用，数形结合的数学思想，圆锥曲线与圆锥曲线的位置关系，与圆锥曲线相关的定值问题，最值问题，应用问题和探索性问题）。

研究最值问题是实践的需要，人类在实践活动中往往追求最佳结果，抽象化之成为数学上的最值问题，所以最值问题几乎渗透到数学的每一章。

解析几何中的最值问题主要是曲线上的点到定点的距离最值，到定直线的距离最值，还有面积最值，斜率最值等，解决的办法也往往是数形结合或转化为函数最值。

而一些函数最值，反而可以通过数形结合转化为解析几何中的最值问题。

1．几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决。

2．代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值。求函数最值常用的方法有配方法、判别式法、重要不等式法、三角函数的值域法、函数的单调性法。

x 例10． 已知椭圆C:x?2y22?8和点P（4，1），过P作直线交椭圆

248

宁乡县第二中学2004-2005学年度高三数学教案 任教班级:C146-147

于A、B两点，在线段AB上取点Q，使

，求动点Q的轨迹所在

PBQB曲线的方程及点Q的横坐标的取值范围.

分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往往不知从何入手。其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解. 因此，首先是选定参数，然后想方设法将点Q的横、纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的.

由于点Q(x,y)的变化是由直线AB的变化引起的，自然可选择直线AB的斜率k作为参数，如何将x,y与k联系起来？一方面利用点Q在直线AB

??APAQ上；另一方面就是运用题目条件：共线，不难得到x?APPB??AQQB来转化.由A、B、P、Q四点

4(xA?xB)?2xAxB8?(xA?xB)，要建立x与k的关系，只需将

直线AB的方程代入椭圆C的方程，利用韦达定理即可.

通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于如何解决本题，已经做到心中有数.

APAQ ?? PBQB 4(xA?xB)?2xAxB x? 8?(xA?xB)

将直线方程代入椭圆方程，消去y，利用韦达定理

x?f?k?

利用点Q满足直线AB的方程：y = k (x—4)+1，消去参数k

Q的轨迹方程 ?k? 在得到x?f点之后，如果能够从整体上把握，认识到：所谓消参，目的不过是得到关于x,y的方程（不含k），则可由y?k(x?4)?1解得k?y?1x?4，直接代入x?f?k?即可得到轨迹方程。从而简化消去参的过程。

APPB??AQQB解：设A?x1,y1?,B(x2，y2),Q(x,y)，则由4?x1x2?4?x?x1x2?x可得：

，

249

宁乡县第二中学2004-2005学年度高三数学教案 任教班级:C146-147

解之得：x?4(x1?x2)?2x1x28?(x1?x2) （1）

设直线AB的方程为：y?k(x?4)?1，代入椭圆C的方程，消去y得出关于 x的一元二次方程：

?2k222?1x?4k(1?4k)x?2(1?4k)?8?0 （2）

?4k(4k?1)?x?x?,122??2k?1∴ ? 22(1?4k)?8?xx?.122?2k?1?4k?3代入（1），化简得：x?. (3)

k?2与y?k(x?4)?1联立，消去k得：?2x?y?4?(x?4)?0.

在（2）中，由

2?410?k?2?410???64k?64k?24?016?2109?x?2，解得

16?210.

，结合（3）可求得 的

轨

迹

方

故（

知点

?x?Q程为：

92x?y?4?0

16?210916?2109）.

说明：由方程组实施消元，产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程，其判别式、韦达定理模块思维易于想到. 这当中，难点在引出参，活点在应用参，重点在消去参.，而“引参、用参、消参”三步曲，正是解析几何综合问题求解的一条有效通道.

22例11．已知??[0,?)，试讨论?的值变化时，方程xsin??ycos??1表示的曲线的形状。

解：（1）当??0时，方程化为y??1，它表示两条与x轴平行的直线； （2）当?? （3）当???2时，方程化为x??1，它表示两条与y轴平行的直线； 时，方程化为x?y22?4?1，它表示一个单位圆；

x2 （4）当0????4时，方程化为

1sin??y21cos??1，因为

1sin??1cos??0，所以它表示一个焦点在x轴上那个的椭圆；

250