高考数学专题复习：数列与不等式中放缩法的运用的教案

数列与不等式中放缩法的运用

数列与不等式在今后的高考中有越来越被重视的倾向，而放缩法是解决数列与不等式有关问题的最常用的方法之一，通过这堂课的学习，意在让学生体会放缩法的重要性，掌握运用放缩法的一般技巧。

一．引入

以高中阶段所要求掌握的知识来判断，下列哪些数列的前n项和可以计算结果，哪些数列我们计算不了？

１．1?3?5?????２．12n

?22?32?????n2

３．1?(1?2)?(1?2?3)?????(1?2?????n)

1111???????４．

1?22?33?4n?(n?1)

５．1?2?2?22?3?23?????n?2n

111６．1?2?2?????223n７．1?111?????? 2333n31111?2?33?????n８．23?23?23?23?2n

在我们所接触的题目中，不能求和的数列会出现吗？ 如果出现了，一般会以什么样的形式来命题？ 需要我们采用什么手段来处理？ 二．常见数列的放缩

111１．求证1?2?2?????2?2

23n11从第二项起放缩为2?n(n?1)n

1115２．若求证1?2?2?????2?呢？

23n311?从第二项起放缩为n21 2n?411131???????? ３．求证33323n211111??(?) 从第三项起放缩为3n(n?2)(n?1)n2(n?2)(n?1)(n?1)n1115４．若求证1?3?3?????3?呢？

23n411111??(?) 从第三项起放缩为3n(n?1)n(n?1)2(n?1)nn(n?1)11114?2?3?????n? ５．求证

2?12?12?12?1511?n从第三项起放缩为n2?12

其实很多放缩并没有我们想象地那么简单，又如：

1117??????? ６．求证1?2!3!n!4７．求证1?222?332?????nn2?3

11115?2?3?????n? ８．求证

2?12?12?12?13

通过对这些例子的体会，对于放缩法的应用，我们最大的困难是什么？ 要能灵活地运用放缩法，要求我们要有一定的知识储备和一定的实战经验，还要有较强的计算能力． 三．常见的不等关系

除了上述的这些例子以外，数列中还有一些常见的不等关系，如：

n2?2n?2(n?3) １．

2n?n?2n(n?2) ２．2?2３．3n?(n?2)2n?1(n?1)

n?1nn?(n?1)(n?3) ４．

1n1n?1(1?)?(1?)(n?1) ５．

nn?114(n?1) ６．2?2n4n?11?n?2?n ７．

n?21?2(n?n?1) ８．2(n?1?n)?n等等．这些不等关系看似复杂，但是我们还是能从中发现些许规律。 四．例题讲解

例１．（２０１２年广东卷理科数学第１９题）设数列?an?的前n项和为

n?1Sn，满足2Sn?an?1?2?1，且a1,a2?5,a3成等差数列

（１）求a1

（２）求?an?的通项公式 （３）求证，对一切正整数n有

11113???????? a1a2a3an2an?3n?2n

第（３）小题的解答：

nnn法一：当n?2时，3?2?2，?an?3?2?2，?nn11?n an21111111313?????????1?2?3?????n??n? a1a2a3an222222法二：当n?2时，3n0n1n?1?(2?1)n?Cn2?Cn2?2n?n?2n?1

?an?3n?2n?n?2n?1，?法三：an?3?2?(3?2)(3nnn?11111??n?1?n，同上 an222?3n?2?2?3n?3?22?????3?2n?2?2n?1)?3n?1

?11?n?1an3

11111111313?????????0?1?2?????n?1?(1?n)? a1a2a3an3333232例二．（金丽衢十二校２０１４学年第二次联考第２０题）

(n?2)2(n?2)(n?3)?当n为偶数时，an? 44当n为奇数时，an?(n?1)(n?3)(n?2)(n?3)?

44??1411??4(?)an(n?2)(n?3)n?2n?311111111?4n?11????????4?(?)?(?)????(?)??a1a2a3an45n?2n?3?3(n?3)?3411115???????? 变式：求证

a1a2a3an3(n?2)2(n?1)(n?3)?当n为偶数时，an? 44?14?an(n?1)(n?3)

1111111111?????????2(?????????)a1a2a3an2435n?1n?352n?55??? 3(n?2)(n?3)3