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初升高数学衔接教材

第1课 集合的概念

一、集合与元数 1、集合的概念

(1) 集合：某些指定对象集在一起就形成一个集合(简称集) (2) 元素：集合中每一个对象叫做这个集合的元素； (3) 集合通常用大写的拉丁字母表示，如A,B,C,P,Q……

元素通常用小写的拉丁字母表示，如a,b,c,p,q……

2、集合中的元素有四个特性：______________、__________、____________、__________。 3、集合与元素的关系

属于：如果a是A的元素，就说a_______集合A，记作____________； 不属于：如果a是A的元素，就说a_______集合A，记作____________； 4、集合的表示法：

①列举法：把集合的元素______________，并用___________表示集合的方法。

②描述法：用集合所含元素的________表示集合的方法，具体表示是：______________。 ③venn图：用平面上封闭曲线的内部代表集合。 5、几个常用数集及其记号 名称 符号 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 无穷大”。 7、集合的分类

(1) 有限集：含有有限个元素的集合； (2) 无限集：含有无限个元素的集合； (3)

空集：不含任何元素的集合，记作?，如：x?R|x2?1?0

??1.1.1 如何用数学语言刻划一个集合

【例1】在一堂课中，老师分别请下列学生举起右手：

(1) 高个子的学生；(2)中国人；(3)小学生；(4)来自杨家坪中学的学生。

【例2】下列对象中一定能构成集合的是( ) (1)2018年央视春节晚会上的所有好看的节目； (2) 我国1991-----2015年发射的所有人造卫星；

(3) 2015年夏季世界大学生运动会中的高个子女运动员； (4) 高一(2)班学生的姓名； (5) 一群向南飞的大雁； (6) 函数y?x?1图象上的点； (7) 最接近?的有理数；

(8) 满足方程x?1?0的实数解；

(9) (9)110的所有的偶数。故选(2),(5),(6),(8),(9) 变式：

1. 下列对象不能构成一个集合的是( )

A,联合国常任理事国， B,方程x?9?0在实数范围内的解； C,3近似值的全体， D,中国的直辖市。

2. 若集合M??a,b,c?中的元素是?ABC的三边长，则?ABC一定不是( ) A,锐角三角形 B,直角三角形 C,钝角三角形 D,等腰三角形 3. 下列对象不能构成一个集合的是

(1)初中数学中的所有难题； (2)我们班级14岁以下的学生；

(3)铁路中学的大个子； (4)育才中学身高超过1.70米的学生； (5)0,1,2,3,1,5

1.1.2 数的发展

【例1】下列说法正确的是( )

(1)0既是正数也是负数； (2)0是自然数，也是最小的自然数；

1

2226、区间的概念 设a,b是两个实数，而且a

满足不等式a?x?b的实数x的集合叫做闭区间，表示为?a,b?； 满足不等式a?x?b的实数x的集合叫做开区间，表示为?a,b?；

满足不等式a?x?b或a?x?b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为

?a,b?,?a,b?

(4)

满足x?a的所有实数表示为?a,???，满足x>a的所有实数表示为?a,???

满足x?a的所有实数表示为???,a?，满足x

全体实数表示为???,???，“?”读作“无穷大”，??读作“负无穷大”，??读作“正

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(3) ?1是负数，整数，也是奇数； (4)2是最小的质数，也是质数中唯一一个偶数； (4) 3是无理数，9也是无理数； (6)3.14是无理数，因为??3.14。 变式：

1. 下列说法正确的是( )

(1) 正整数的平方还是正整数； (2)自然数的相反数是负整数；

(3)若n表示整数，则2n-1和2n+1是奇数；(4)当x是任意实数时，x和x2都是正数； (5)有理数的相反数是无理数。

2.观察下列各算式，用你所发现的规律得出22017的末位数字是( )

21?2,22?4,23?8,24?16,25?32,26?64,27?128,28?256,29?512……，

A,2 B,4 C,6 D,8

1.1.3集合的表示方法

例1用列举法表示下列集合

(1) A??x?R|x2?3x?2?0? (2)B??x?Z|x2?3x?4?0?

(2) C???6?x?N|1?x?N??? (4)D???x,y?|x?y?5,x?N?,y?N?

例2.用描述法表示下列集合

(1)不等式x2?x?6?0的解集； (2)函数y?x2?x的图象上所有点的集合；

(3)方程x2??m?2?x?m?1?0?m?Z?的解集。

例3.己知集合A??x?R|ax2?3x?2?0,a?R?

(1)若A是空集，求a的取值范围；

(2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来； (3)若A中至多只有一个元素，求a的取值范围。

1.1.4 元素与集合的关系

【例1】下列表示中正确的是( ) (1) 0?N，(2)

227?Q，(3)0??，(4)?0???,(5)???0?,(6)a??A,B,C,D?，(7)?????,

变式：

1.用符号?或?填空

(1) 集合A??1,2,3,4,5?,B??6,7,8?，则5___A,5____B,6_____A,6_____B； (2) 6____N?，

32_____Q,53_____Z,0_______N，?______Q,??2?0______N?,23_____Q, 23______R (3) 已知集合A是由满足y?x2?1且x?N的实数y组成，集合B是由抛物y?x2?2x?2

上的点组成，则

72_____A,10___A,点(1,2)______A,2____B,点(0,0)_____B,点(-1,1)______B； 【例2】设集合A={2,4,6}，若a?A，且6?a?A，那么实数a的值是__________。

变式：1.设集合M??x?N|8?x?N?，则M中元素的个数是( ) A,10 B,9 C,8 D,7

2. 设集合A满足：若a?A，则11?a?A，若2?A，则集合A=__________________。 【课后练习】 1. 已知集合A???x|8?6?x?N?x?Z????，试求集合A。 2. 已知集合A????x|63?x?N?x?Z????，试求集合A。 3. 已知集合A???8?x|1?x?Z?x?N?????，试求集合A。 4. 已知实数a?94，集合M??x|x2?3x?a?0?，求集合M中所有元素的和。 5. 若集合A??x?R|ax2?ax?1?0?中只有一个元素，则a_______________。

6. 设集合A??1,2,3?,B??4,5?，M??x|x?a?b,a?A,b?B?，则M中的元素个数为( A,3 B,4 C,5 D,6

7. 若集合A??x|ax2??a?1?x?1?0?,若A中至多有一个元素，求实数a的范围。

8. 已知集合A??a?2,?a?1?2,a2?3a?3?，若1?A，则a=_______________。

2

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第2课：集合与集合的包含关系

一、子集的相关概念 名称 文字语言 符号语言 图示 子集 对于两个集合A,B， 如果集合A中的元素都是集合B中的元素。 相等 若集合A是集合B的 ______，且集合B是集合A的______，就说A与B_______。 真子集 如果A?B，但存在 元素______，且_____，称集合A是B的___________。 注意：

(1) 任何一个集合是它本身的________________，即_____________；

(2) 空集是任何集合的_________，是任何非空集合的_________________。 (3) 对于集合A,B,C,如果A?B，且B?C，那么__________________。

1.1.5集合与集合的包含关系

【例1】已知集合A??1,2,3?,B??2,3?，则下列选项中正确的是( D )

A,A?B B,AB?? C,A?B D,B?A

变式：

1. 已知集合A??x|x?1?，若B?A，则集合B可以是( ) A,?x|x?2? B,?x|x?1? C,?x|x?0? D,R 2. 己知集合A??a,a2?，B??1?，若B?A，求实数a；

3. 已知集合A??x|?x?2??x?a??0,x?R?,B??2,?3?，若A?B，求实数a； 4. 已知集合A??x|2?x?4?,B??x|a?x?3a?1?,A?B，求实数a的取值范围。

5. 已知集合A??x|?2?x?9?,B??x|a?x?a?1?,B?A，求实数a的取值范围。 【例2】判断下列集合间的关系，并用适当的符号表示 (1) A={平行四边形},B={矩形} (2) A=?x|x?2n,n?N?，B={X|X是偶数}

(3) A??x|x?0?,B??x|x?1?； (4) A???x,y?|y?2x,x?R?,B???x,y?|xy?0?

【例3】写出?a,b,c?所有子集，并指出哪些是真子集。

反思：若集合A中有n个元素，则集合A有_________个子集，________个真子集，______个非空子集，_________个非空真子集。

【例4】(1)已知集合A??1,3,a?,B??1,a2?a?1?,且B?A，求a的值。

(2)已知集合A??x|x2?x?6?0?,B??x|ax?1?0?，若B?A，求实数a的取值。

变式：设A??x|x2?4x?0?,B??x|x2?2?a?1?x?a2?1?0?， (1) 若A?B，求求a的值。

(2) 若B?A，求实数a的取值范围。

【例5】(1)设集合P???x|??3x?2?4x?1???2x?6?x?1?,Q??x|x?3?5?a?，且P?Q，求实数a的取值

?范围。

(2)已知集合A??x|1?ax?2?,B??x|x?1?，求满足A?B的实数a的范围。

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变式：(1)已知两集合A??x|x?3?,B??x|x?a?，若A?B，则实数a的取值范围________。 (2)已知A?x|x?1,B?x|?x?a?1??x?a?4??0,A?B，求实数a的取值范围。

(3)已知A??x|?2?x?5?,B??x|a?1?x?2a?1?，若B?A，则实数a的取值范围________。

【课后练习】

1、集合A??x|0?x?3,x?Z?的真子集个数是_____________。 2、已知?1,2??M??1,2,3,4?，写岀满足条件的集合M。 3、在下列各式中错误的个数是( )

①1??0,1,2? ②?1???0,1,2? ③?0,1,2???0,1,2? ④?0,1,2???2,0,1? A,1 B,2 C,3 D,4

4、下列说法：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的子集； ④若??A，则A??，其中正确的是_______________。

5、设集合A??x|1?x?2?,B??x|x?a?，若A?B，则实数a的取值范围________。 6、己知集合A??x|?1?x?5?,B??x|m?5?x?2m?3?，且A?B，则实数m的取值范围__________。

7、集合A?x|x??y?6,x?N,y?N的真子集个数为_______________。

8、已知集合A?x|x?2x?3?0,B??x|x?a?，若A?B，则实数a的取值范围________。

2第3课：集合的基本运算

????1、交集、并集、补集的概念 概念 交集 并集 补集 文字语言 符号语言 图形语言 由所有A，B的公共AB?{x| } 元素组成的集合 由所有A，B的元素AB?{x| } 组成的集合 设u为全集，集合A?U，由U中所有______________的元素组成的集合，叫做集合A相对于全集U中的补集

2、交集、并集、补集的运算性质 交集的运算性质 并集的运算性质 补集的运算性质 CUA?{x| } AB?A,AB?B AB?A,AB?B CU?? CUU? A(CUA)?

AB?BA AB?BA?? AAA? AA? A?? AB?A? AB?B? A?CUA?? CU?CUA?? ?2??CUA??CUB??______________, ?CUA??CUB??______________。

说明：从“文字语言，符号语言，图形语言”三个角度理解集合的知识，特别学会借助图形语言解题，即“数形结合”的数学思想。 1.1.6 集合的交、并、补运算

【例1】(1)已知集合A??1,2,3?,B??x|?3?x?3?，则A??9、已知集合A??y|y?x2???3?3??x?1,x??,2??,B??x|x?m2?1?，若A?B，则实数m的2?4??B?( )

取值范围________。

A,??2,?1,0,1,2,3? B,??2,?1,0,1,2? C,?1,2,3? D,?1,2? (2) 已知集合A??x|x?2?,B??x|3?2x?0?，下列选项中正确的是( )

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