1.5.2 二项式系数的性质及应用

1 凤凰高中数学教学参考书配套教学软件_教学设计 1.5.2 二项式系数的性质及应用

教学目标：

1．理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用； 2．初步了解用赋值法解决二项式系数问题；

3．能用函数的观点分析处理二项式系数的性质，提高分析问题和解决问题的能力．

教学重点：

二项式系数的性质． 教学难点：

对二项式系数的理解和应用．

教学过程

一、复习回顾

1．二项式定理，二项式展开式的通项及二项式系数． 二、建构数学

1．二项式系数表（杨辉三角）．

(a＋b)n展开式的二项式系数，当n依次取1，2，3…时，如下表所示： (a＋b)1……………………1 1

(a＋b)2…………………1 2 1 (a＋b)3………………1 3 3 1 (a＋b)4……………1 4 6 4 1 (a＋b)5…………1 5 10 10 5 1 (a＋b)6………1 6 15 20 15 6 1 ……

2．发现什么特点？

（1）每一行的二项式系数是对称的．

（2）每行两端都是1，而且除1外每个数都等于它肩上两个数之和． （3）每行的二项式系数从两端向中间逐渐增大．

2 凤凰高中数学教学参考书配套教学软件_教学设计 （4）每行的二项式系数和等于2n． 三、数学理论：

(a＋b)n二项式系数：Cn，Cn，Cn，…Cn，…Cn有如下性质：

n?m（1）Cm； n＝Cnm?1m＋C＝C（2）Cmnnn?1；

012rn（3）当r＜n－1n－1r?1?1r＜C时，Cr；当时，Crr＞nnn＜Cn；

22即n为偶数时，第＋1项的二项式系数最大；

n2n＋1n＋1n为奇数时，第和第＋1项的二项式系数最大．

2212nn（4）C0n＋Cn＋Cn＋???Cn＝2．

四、数学应用

例1 已知(a＋b)n的展开式中，

（1）第十项和第十一项的二项式系数最大，求n的值．（19）

（2）第三项的二项式系数与第五项的二项式系数相等，求n的值．（7） （3）各项二项式系数和为1024，求n的值．（10）

例2 证明：在(a＋b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项二项式系数的和．

n1n?1n?22nnb＋C2b＋…＋Cnb中， 证明 在二项式定理(a＋b)n＝C0na＋Cnana123n1)nCn令a＝1，b＝－1得：(1－1)n＝C0 n－Cn＋Cn－Cn＋…＋(－213即0＝(C0n＋Cn＋…)－(Cn＋Cn＋…)， 213＋C＋…＝C＋C所以C0nnnn＋…

所以在(a＋b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项二项式系数的和．

例3 用二项式定理证明：99100－1能被1000整除． 证明 99100－1＝(100－1)100－1

0982910＝C1010010－C11 10100＋…＋C10100－C10100＋C10－3 凤凰高中数学教学参考书配套教学软件_教学设计 0982＝C1010010－C11000 10100＋…＋C10100－因为上式的每一项都能被1000整除，所以99100－1能被1000整除． 课堂练习

教材P35练习1，2，3，4，5． 五、回顾反思

1．二项式系数的性质；

2．应用二项式定理证明组合恒等式； 3．应用二项定理证明整除性．