2010年高三数学试题精编 9.4简单的几何体

第九章 直线、平面、简单几何体

四 简单的几何体与球

【考点阐述】

多面体．正多面体．棱柱．棱锥．球． 【考试要求】

（8）了解多面体、凸多面体的概念．了解正多面体的概念． （9）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图． （10）了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质。会画正棱锥的直观图。 （11）了解球的概念.掌握球的性质.掌握球的表面积、体积公式． 【考题分类】

（一）选择题（共12题）

1.（北京卷理8）如图，正方体ABCD-棱

A1B1C1D1的棱长为2，动点E、F在

A1B1上，动点P，Q分别在棱AD，CD上，若EF=1，

A1E=x，DQ=y，DＰ

＝ｚ（ｘ，ｙ，ｚ大于零），则四面体PEＦＱ的体积 （Ａ）与ｘ，ｙ，ｚ都有关 （Ｂ）与ｘ有关，与ｙ，ｚ无关 （Ｃ）与ｙ有关，与ｘ，ｚ无关 （Ｄ）与ｚ有关，与ｘ，ｙ无关 【答案】D．

解析：这道题目延续了北京高考近年8，14，20的风格，即在变化中寻找不变，从图中可以

1分析出，?EFQ的面积永远不变，为面A1B1CD面积的4，而当P点变化时，它到面A1B1CD的距离是变化的，因此会导致四面体体积的变化。 2.（北京卷文8）如图，正方体F在棱

ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，动点E、

A1B1上。点Q是CD的中点，动点P在棱AD上，若EF=1，DP=x，

A1E=y(x,y大于零)，则三棱锥P-EFQ的体积：

（A）与x，y都有关； （B）与x，y都无关；

（C）与x有关，与y无关； （D）与y有关，与x无关；

3.（福建卷理6）如图,若?是长方体

ABCD-A1B1C1D1被平面EFGH截

用心 爱心 专心 1

去几何体异于

EFGHB1C1后得到的几何体,其中E为线段

A1B1上异于

B1的点，F为线段

BB1上

B1的点，且EH∥

A1D1，则下列结论中不正确的是（ ）

A. EH∥FG B.四边形EFGH是矩形 C. ?是棱柱 D. ?是棱台 【答案】D

【解析】因为EH∥所以EH∥平面

A1D1，

A1D1∥

B1C1，所以EH∥

B1C1BCB1C1，又EH?平面，

BCB1C1BCB1C1FG，又EH?平面EFGH，平面EFGH?平面=，

B1C1，所以选项A、C正确；因为

所以EH∥FG，故EH∥FG∥

A1D1?平面

ABB1A1，

EH∥A1D1，所以EH?平面ABB1A1，又EF?平面ABB1A1， 故EH?EF，所以选

项B也正确，故选D。

【命题意图】本题考查空间中直线与平面平行、垂直的判定与性质，考查同学们的空间想象能力和逻辑推理能力。 4.（江西卷理10）过正方体

ABCD?A1B1C1D1的顶点A作直线L，使L与棱AB,AD,

AA1所成的角都相等，这样的直线L可以作

A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 【答案】D

【解析】考查空间感和线线夹角的计算和判断，重点考查学生分类、划归转化的能力。第一类：通过点A位于三条棱之间的直线有一条体对角线AC1，第二类：在图形外部和每条棱的外角和另2条棱夹角相等，有3条，合计4条。 5.（江西卷文11）如图，M是正方体

ABCD?A1B1C1D1B1C1的棱

DD1的中点，给出下列命题

ABA1B1C1①过M点有且只有一条直线与直线AB、

都相交；

DCBC②过M点有且只有一条直线与直线AB、11都垂直；

③过M点有且只有一个平面与直线AB、④过M点有且只有一个平面与直线AB、

? MD1B1C1B1C1都相交； 都平行.

其中真命题是：

A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 【答案】C

【解析】考查立体几何图形中相交平行垂直性质

7.（辽宁卷文11）已知S,A,B,C是球O表面上的点，SA?平面ABC，AB?BC，

SA?AB?1，BC?2，则球O的表面积等于

用心 爱心 专心

2

（A）4? （B）3? （C）2? （D）?

2解析：选A.由已知，球O的直径为2R?SC?2，?表面积为4?R?4?.

8.（全国Ⅰ卷理12文12）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为

234383(A) 3 (B)3 (C) 23 (D) 3

【答案】.B【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.

【解析】过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD,交AB与P,设点P到CD的距离为h,则有

112V四面体ABCD??2??2?h?h22h?22?1?23max323,当直径通过AB与CD的中点时,,故Vmax?433.

9.（全国Ⅰ新卷理10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为

72?a2?a(A) (B) 3 112?a(C) 3

(D) 5?a

2【答案】B

解析：如图，P为三棱柱底面中心，O为球心，易知

2331AP??a?a,OP?a3232，所以球的半径R满足： R2?(321272a)?(a)?aS3212，故

722?4?R??a球3．

10.（全国Ⅰ新卷文7）设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a,其顶点都在一个球面上，则

该球的表面积为

（A）3?a2 （B）6?a2 （C）12?a2 （D） 24?a2 【答案】B

22S=6?a(2R)?6a解析：根据题意球的半径R满足，所以球．

211（全国Ⅱ卷理9）已知正四棱锥S?ABCD中，SA?23，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为

（A）1 （B）3 （C）2 （D）3 【答案】C

【命题意图】本试题主要考察椎体的体积，考察告辞函数的最值问题.

用心 爱心 专心

3

【解析】设底面边长为a，则高所以体积

，

设，则，当y取最值时，，解得a=0或a=4

时，体积最大，此时，故选C.

12.（四川卷理11文12）半径为R的球O的直径AB垂直于平面?，垂足为B，

?BCD是平面?内边长为R的正三角形，线段AC、AD分别

与球面交于点M，N，那么M、N两点间的球面距离是

Rarccos（A）

171814Rarccos?R?R25 （B）25 （C）3 （D）15

251解析：由已知，AB＝2R,BC＝R,故tan∠BAC＝2 cos∠BAC＝5

连结OM，则△OAM为等腰三角形

4545RR55AM＝2AOcos∠BAC＝，同理AN＝，且MN∥CD而AC＝5R,CD＝R

4R5故MN：CD＝AN:AC? MN＝，

连结OM、ON，有OM＝ON＝R

OM2?ON2?MN217?2OM?ON25 于是cos∠MON＝

Rarccos所以M、N两点间的球面距离是

1725

答案：A

（二）填空题（共8题）

1.（湖北卷理13文14）圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示)，则球的半径是 cm． 【答案】4

用心 爱心 专心 4