导数在中学数学中的应用

导数在中学数学中的应用分析

摘要:导数是联系高等数学与初等数学的纽带，高中阶段引导导数的学习有利于学生更好地理解函数的性质，利用导数更容易求参数的值，；利用导数证明等式与不等式，利用导数求切线方程。导数进入中学数学，丰富了中学数学知识和解法，给许多繁难问题提供了一种通用的解题方法，给许多常规问题的解法提供了新视角。 关键词：导数、中学数学、应用

大约在1629年，法国数学家费马研究了作曲线的切线和求函数极值的方法；1637年左右，他写一篇手稿《求最大值与最小值的方法》。在作切线时，他构造了差分f(A+E)-f(A),发现的因子E就是我们现在所说的导数f'(A)。导数与物理，几何，代数关系密切.在几何中可求切线；在代数中可求瞬时变化率；在物理中可求速度，加速度。导数亦名纪数、微商（微分中的概念），是由速度变化问题和曲线的切线问题（矢量速度的方向）而抽象出来的数学概念.又称变化率.。

导数在中学数学中的应用十分广泛，利用导数可以作函数的图像、求函数的解析式、求函数的极值最值、求参数的值、证明等式和不等式、求切线的方程、求部分关于极限的问题。总之导数在中学数学中的应用是十分广泛的。

16、17世纪，资本主义开始迅速的发展，精密的科学、航海学、弹道学的诞生，促进了力学的发展，工业技术的发展。又要求当时的数学有了更高的要求，一开始都是用特殊的办法解决

同一类型的问题，后来又了一般的方法，并逐步发展变化，最后牛顿和莱布尼茨建立了微积分。

导数的定义：函数y?f(x)，如果自变量x在x有增量△x，那么函数y相应地有△

?y叫做函数y=f（x）在x到xo??x之间的平均变化率即?xf(xx)?f(x?y?y0??0)=。如果当?x?0时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x0处可?x?x?x''导，并把这个极限叫做f（x）在点x0处的导数，记作f(x0)或yx?x0。

x??x)?f(x),比值y=f(oo导数的实例应用

利用导数作函数的图像

中学数学教材中介绍的描点法作函数图像, 作图比较粗糙不准确, 一般只适用于简单的函数, 但对比较复杂的函数就很难做出.现用导数的知识来作函数图像就相当的简便.作函数图像的一般步骤：

（1） 求出函数的定义域；

（2）考察函数的奇偶性、周期性；

（3）求函数的一些特殊点, 如与两坐标轴的交点等(列表)； （4）确定函数的单调区间, 极值点, 凸性区间及拐点(列表)； （5）考察渐进线； （6）画图.

例1 作函数y的图像. ?x?6x?15x?20解：(1) 函数的定义域(??,??)

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5?105?5?105. ,0),(?1,0),(,0),(0,2?0)222?(3) 令y 解得x???3x?12x?15?3(x?5)(x?1)?05,1 ??令y 解得x???6x?12?6(x?2)?02

(2) 曲线与x, y轴交点分别为(?(4) 现列表讨论函数的单调区间、极值点、凸性区间及拐点：

xy? y??y (??,?5) + — ↗凹 -5 0 — 80 极大 (?5,?2) — — ↘凸 -2 — 0 26 拐点 (?2,1) — + ↘凹 1 0 + -28极小 (1,??) + + ↗凹 (5) 无渐进线 (6) 作图：

X

(-5，80)

（-2,26） 0

（-1，0）

Y （1，-28）

导数在求解曲线某点的切线问题中的应用。

导数进入中学数学后，丰富了学生学习数学的兴趣爱好，给许多复杂的问题提供了一套通用的解法，其中最常见的就是导数在曲线某点的切线方程中的应用。此类问题可以分为两种情况。

１、该点在曲线上，f?(x0)的几何意义就是曲线在点P处切线的斜率，过(xx0,f(0))??f(x)?f(x)(x?x)(xxP点的切线方程为y，但应注意点P0000,f(0))在曲线y?f(x)上，否则易错．

例如：求在y?2x?3点p(1,5)和Q(2,9)处的切线方程。 错因：直接将p，Q看作曲线上的点用导数求解。 分析：点P在函数的曲线上，因此过点P的切线的斜率就是y在x=1处的函数值； ２、点Q不在函数曲线上，因此不能够直接用导数求值，要通过设切点的方法求切线． 解：?y?2x?3 ?y=4x ? y在x=1处的函数值为4，既是函数在该点的斜率为4即过点p的切线的斜率为4，故切线为：．y?4x?1 22

设过点Q的切线的切点为M(x0,y0)，则切线的斜率为4x0，又，kMQ?y0?9 x0?22x02?62故。 ?4x0，?2x?8x?60??x?13000x0?2即切线MQ的斜率为4或12，从而过点Q的切线为：y ?4x?1,y?12x?15

求证：函数y?x?线方程. 1图象上的各点处切线的斜率小于1，并求出其斜率为0的切x1的图象上各点处切线的斜率都小于1，x分析： 由导数的几何意义知，要证函数y?x?只要证它的导函数的函数值都小于1，因此，应先对函数求导后，再进行论证与求解. 解：（1）y?x??y?1?1x'11，即对函数定义域内的任一x，其导数值都y?x??12xx小于1，于是由导数的几何意义可知，函数图象上各点处切线的斜率都小于1. （2）令1?111，得 ，当时 ；当x??1时，y?x?y?1??2，?0x??1x?12x1xy??2， 曲线y?x?1的斜率为0的切线有两条，其切点分别为(1,2)与(-1,-2)，切线方程分x别为y=-2或y=2。 点评： 在已知曲线y=f(x)切线斜率为k的情况下，要求其切线方程，需要求出切点，而切点的横坐标就是y=f(x)的导数值为k时的解，即方程f(x)?k的解，将方程f(x)?k的解代入y?f(x)就可得切点的纵坐标，求出了切点坐标即可写出切线方程，要注意的是方程

''f'(x)?k有多少个相异实根，则所求的切线就有多少条.

一般地，设函数y?f(x)在x?x0及其附近有定义，如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大，我们说f (x0)是函数y?f(x)的一个极大值；如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小，我们说f (x0)是函数y?f(x)的一个极小值。极大值与极小值统称极值。

导数在函数极值中的应用，当导数值大于0时，函数为增，导数值小于0时，函数值为减。

例如：求函数y?13x?4x?4的极值。 3 解得x1?2， x2??2, 解：求导数得y/?x2?4 令y/?x2?4?0，y/在 y/?0的根的左右的符号如下表所示： blna?a x y (??,?2)b + (-2,2) － (2,??) + 13 因此，当x??2时，函数有极大值，把x??2代入函数式，得这个极大值为9；

当x?2时，函数有极小值?1。

讨论总结求可导函数的极值的基本步骤与方法：

一般地，如果函数y?f(x)在某个区间有导数，可以用下面方法求它的极值： ① 确定函数的定义域； ② 求导数f?(x)； ③ 求方程f?(x)=0的根，这些根也称为可能极值点；

④ 检查f?(x)在方程f?(x)＝0的根的左右两侧的符号，确定极值点。(最好通过列表法)

3、利用导数证明不等式。

我们知道函数在某个区间上的导数值大于（或小于）0时，该函数在该区间上的单调递增（或递减）。因而在证明不等式时。根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数证明该函数的单调性，然后再用函数单调性达到证明不等式的目的。即把证明不等式的问题转化为证明函数的单调性。通常用直接构造法。

13x2?ln(1?x)?1 例如：当x?1时，求证：x?2x2x2'?ln(1?x)(x?0)，则f(x)??证明：设f(x)?x? 21?x?x?o?f'(x)?0在（0，+?）上递减 x2?ln(x)?0成立 所以，x?0时f(x)?f(0),即x?2把不等式变形后再构造函数。然后利用导数证明函数的单调性，达到不等式的证明的目的。

例如：已知a,b?R.a?b?c.求证ab?ba。

要证(e,??)?b?a,?f(b)?f(a);只需证lnab?lnba即证：lnab?lnba?0

设f(x)?xlna?alnx(x>a>e);则f(x)?lna? ?a?e,x?a?lna?1,'a xa?1 x ?f'(x)?0因而f(x)在(e,??)上递增

?b?a,?f(b)?f(a);故blna?alnb?alna?alna?0，即blna?alnb，

所以ab?ba成立。

4 利用导数求极限。 洛必达法则

0?1、型及型未定式解法:洛必达法则 0?定义 如果当x?a(或x??)时，两个函数f(x)与F(x)都趋于零或都趋于

f(x)无穷大，那么极限lim可能存在、也可能不存在．通常把这种极限称为

x?aF(x)(x??)0?或型未定式。 0?