摄像机标定的基本原理、实现及性能分析 - 正文 - 图文

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2.2坐标变换

在实际使用摄像机的过程中，人们为了方便计算，常常设置多个坐标系，因此，空间点的成像过程必然涉及到坐标系之间的相互转化。 下面将逐步推导坐标变换的公式以及坐标变换的相关特性[23]。

首先考虑相对简单的二维坐标变换，考虑如下图所示的两个坐标系Oxy 和O'X'Y',其中?x0,y0?表示点O’点在坐标系 Oxy中的坐标，两坐标系之间的夹角设为θ。则两坐标系之间的变换可以看作是通过两步完成的：或者是先旋转，再平移；或者是先平移，后旋转。两种方法得到的最终的表达式是一致的，在这里选择第一种。

图 2.2.1 二维坐标变换示意图 经过简单的推导，可以得出以下同一点新旧坐标之间的关系式：

x'cos??y'sin??x0?x? （2.2.1）

??y?x'sin??y'cos??y0将其转化为矩阵的形式，可以推出下式：

?x??cos??sin???x'??x0??y???sin?cos???y'???y? （2.2.2） ???????0?为更进一步简化公式，这里引入齐次坐标形式。简单地说，给原有的坐标表示添加一个元素，用 1表示该点为非无穷远点，0表示该点为无穷远点，更深入的内容可以参考空间解析几何的相关内容。引入齐次坐标后，上式可以变为以下形式：

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0 （2.2.3） ??????

?x??cos??y???sin???1????0?sin?cos?0x??x'?y0??y'?0????1?? 坐标变换矩阵由三个列向量组成，前两个列向量表示旋转，第三个列向量表示平移。可以看出旋转向量满足正交性，用r1 表示第一列，用 r2 表示第二列，则有下式成立：

22?r?r （2.2.4） 12?1??r1?r2?0

将坐标变换从二维扩展到三维，情况将稍微复杂一些，但依然可以将坐标变换分解为旋转和平移两个部分，此时旋转角将是一个空间角而不是一个平面角，平移量是一个三维空间向量而不是一个平面二维向量。对于旋转的空间角，可以将其分解为三个平面旋转角，分别表示绕 x轴，y轴和z 轴旋转的角度。每一种旋转所对应的变换矩阵如下所示：

?00??1 ????Rot?x,????0cos?sin?????0?sin?cos??? ??cos?0?sin????? 10??Rot?y,????0????sin?0cos?????sin?0??cos???? ?Rot?z,?????sin?cos?0???01??0??(2.2.5）

图 2.2.2 三维坐标变换示意图

这里设新坐标系的原点O’在旧坐标系中的坐标为(Ox,Oy,Oz)，则可以得出最终的、坐标变换的齐次坐标形式:

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cos?sin??sin?x0??x'??x??cos?cos??y??sin?sin?cos?sin?sin?sin??cos?cos?sin?cos?y??y'?0???(2.2.6) ?????z??cos?sin?cos?cos?sin?sin??sin?cos?cos?cos?z0??z'?????? ?10001?????1?类似地，旋转向量满足正交性，令R??r1r2TTTr3?表示旋转矩阵，其中

Tr1??r11,r21,r31?,r2??r12,r22,r32? ,r3??r13,r23,r33? ,令T??t1,t2,t3?表示平移向量，

O=(0,0,0)，则上述公式可以简化为：

?x??x'??y?RT?y'????????? （2.2.7） ?z???01??z'?????1???1?

对于旋转向量，有下式成立：

222?r?r?r?1?123 （2.2.8） ???r1?r2?r2?r3?r1?r3?02.3 摄像机成像公式

有了前述的相关知识，现在可以在忽略畸变影响的前提下推导摄像机成像公式。在摄像机成像过程中，通常涉及到多个坐标系。它们分别是世界坐标系、摄像机坐标系和图像坐标系，图像坐标系又分为图像物理坐标系和图像像素坐标系。

图 2.3.1 摄像机成像模型

世界坐标系是可由用户任意定义的三维空间坐标系，一般的三维场景都用这个坐标系来表示。在摄像机定标中，世界坐标系常设在定标物的表面或在与标定物有着确定的变换

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关系的位置，从而标定物上特征点的空间世界坐标仅需简单的推导即可得到。

摄像机坐标系是以摄像机光心为原点， 以垂直于成像平面的摄像机光轴为 Z轴建立的三维直角坐标系。其中该坐标系的X轴和 Y轴一般与图像物理坐标系的相应x轴和y轴平行，两轴所在平面平行于成像平面。

图像坐标系分为图像物理坐标系和图像像素坐标系两种。 图像物理坐标系的原点为透镜光轴与成像平面的交点，X与 Y轴分别平行于摄像机坐标系的 x与 y轴，是平面直角坐标系，长度单位为毫米。

图像像素坐标系为固定在图像上的以像素为单位的平面直角坐标系， 其原点位于图像左上角,坐标轴平行于图像物理坐标系的X和 Y 轴。对于数字图像，图像像素坐标系为直角坐标系，长度单位为毫米。

图 2.3.2 成像平面的不垂直性示意图

摄像机成像可以分为三个阶段，第一个阶段是空间点坐标从世界坐标系变换为摄像机坐标系，第二个阶段为空间点坐标经过镜头的射影变换转化为像点坐标，在这个过程中由于光学系统的畸变误差，会使像点坐标产生一定的畸变，从而会对最终的图像造成一定的畸变。为了校正畸变，对应不同的校正方法，人们提出了许多不同的校正模型。第三个阶段为图像的形成，通过 CCD 完成。它使用一种高感光度的半导体材料制成，能把光线转变成电荷，通过模数转换器芯片转换成数字信号，数字信号经过压缩以后由相机内部的闪速存储器或内置硬盘卡保存，因而可以轻而易举地把数据传输给计算机，并借助于计算机的处理手段，根据需要和想象来修改图像。CCD 由许多感光单位组成，通常以百万像素为单位。当 CCD表面受到光线照射时，每个感光单位会将电荷反映在组件上，所有的感光单位所产生的信号加在一起，就构成了一幅完整的画面。CCD每个像素在 x和 y方向上分别有着确定的物理尺寸dx和dy，表示一个像素为多少毫米，这两个参数近似相等，但由于制造精度的问题，将会有一定差异。同样地，CCD的坐标轴的夹角接近90度，但不是完全垂直。