第五章习题解答

?1??0A??2??1??1??0??0??0?12001201213021?2025?1425201??1???1??0??03?????0?1??1???1??2??0??12?2021?1?225?521??1???1??0??01?????0?2??1200210?225021???1?0???2??

矩阵A的秩为3, 矩阵A的第1,2,3列构成它的一个极大无关组，

3. 证明：

设A:a1,a2,?,as；B:b1,b2,?,bt ，且R(A)?R(B)?r C:a1,a2,?,as,b1,b2,?,bt

向量组C能被A表示，而A也能被C表示 所以R(C)?R(A)?r?R(B)

取向量组B的极大无关组为：bi,bi,?,bi，它也是向量组C的极大无关组

12r所以向量组C能由向量组bi,bi,?,bi线性表示，所以向量组C能由向量组B线性表

12r示，所以向量组A能由向量组B线性表示，加上题设条件，所以向量组A与向量组B等价。

7. 证明：(1) 必要性. 若a是任一n维向量，由于n+1个n维向量a1,a2,…,an ,a必线性相关，而a1,a2,…,an线性无关，故a必可由a1,a2,…,an线性表示. (2) 充分性.

因为任一n维向量都能由a1,a2,…,an线性表示，则特别地n维单位坐标向量e1,e2, …,en都能由a1,a2,…,an线性表示,因此，a1,a2,…,an与e1,e2,…,en是等价的向量组，故 a1,a2,…,an的秩为n,即它们线性无关.

8. 证明：因为R3=L(e1,e2,e3), e1,e2,e3表示单位坐标向量，所以只须证明L(e1,e2,e3)=

L(a1,a2,a3).即证e1,e2,e3与a1,a2,a3等价.显然，a1,a2,a3可由e1,e2,e3线性表示，因而只须证明e1,e2,e3可由a1,a2,a3线性表示即可.

因为?a1,a3?＝?e1,e3?a2,e2,?0?1???11011?0?1且1?0?1?10111＝２ 0 5

?0? 因此矩阵1???11011??1?0???1??2?1为可逆矩阵，其逆矩阵为??2?1??2?1??2?1??2?1??21?212121?212121?2?1?? 2?1??2?? 即?e1,e2,e3?＝?a1,a2,a3?1?2?1?? 2?1??2??3

这说明e1,e2,e3可由a1,a2,a3线性表示，因此L(a1,a2,a3) = R.

9. 证明：

?a1T??aT?2??1?????1???b1T ??bT?210010??1?????01???113?11?1010??1?????01??012?111??1?????0?111??2??1????0?1???010011?11?11?? ??1???2?????0??3??2????0?1???1?? ?1???a1T 因为??aT?2??b1T?与???bT??2??有相同的行最简形矩阵，并且矩阵经过有限次初等行变换得到的??TTT新矩阵的行向量组与原来矩阵的行向量组等价，所以向量组a1,a2与向量b1T,b2等价，即

向量组a1,a2与向量组b1,b2等价。

10. 解：设存在常数k1,k2, k3使

k1a1+k2a2+k3a3=0 即

?k1?2k2?3k3? ??k1?k2?k3?3k?2k23????00 03

可解得：k1=k2=k3=0

因此a1,a2,a3线性无关,即a1,a2,a3为R的一个基.

设向量b1=l1a1+l2a2+l3a3, b2=l4a1+l5a2+l6a3.即(l1,l2,l3)，(l4,l5,l6)分别为b1,b2在基a1,a2,a3

下的坐标.也即是： ?l1?2l2?3l3? ??l1?l2?l3?3l?2l23?????l4?2l5?3l6?0 和 ??l4?l5?l6?3l?2l756?5????9?8 ?13 6

?l1? 可分别解得：?l2?l?3????l4?3 和 ?l5?l?1?62???3?3 ?2 因而b1,b2在基a1,a2,a3下的坐标分别为(2,3,-1)和 (3,-3,-2).

12. 解：V的维数为n-1维，取V中n-1个向量e2=(0,1,0,…,0), e3=(0, 0,1 ,…,0),…,

en= (0,0,0,…,1).易证e2,e3,…,en线性无关.对任意x=(0,x2,x3,…,xn)有 x=x2e2+x3e3+…+xnen ,因此，e2,e3,…,en为V的一个基.

习 题 四

1．(1)解：齐次线性方程组的系数矩阵的行变换如下

?112?1??112?1??112?1??1??211?1?????0?1?31?????0103?????0??2212????00?34????003?4????0??100?43????0103? ???001?4?3?? 于是可得： ?4?x1?3x4 ??x2??3x4 ??x3?4?3x4 取x4＝1，可得线性方程组的一个基础解系为： ??4???3? ?=??3??4? ??3??1?? 因此可得线性方程组的通解为：?=k?, k?R. (2) 解：齐次线性方程组的系数矩阵的行变换如下 ?121?1??121?1??120?1? ??36?1?3?????00?40?????0010?? ??5101?5????00?40????0000?? 7

02?4?03??03?4??1

于是可得： ?x1? ??x3?x4?2x20

?x2取??x?4??1??0???0??,??1??，可得线性方程组的一个基础解系为： ??????????2??1?????1???0?= =,?2?? ?1??00?????0??1?????因此可得线性方程组的通解为：?=k1?1+k2?2, k1,k2?R. (3) 解：齐次线性方程组的系数矩阵的行变换如下 ?2?3??4??1311?2?1?0???0??0??12?34?27005??1???70????06????7??04?1010?27974?10?19?9?1?7???014????034???19???0?27004?1043?71?7??14? 16??5???7??14?5? 327??7?因此该齐次线性方程组只有0解.

2. (1) 解：非齐次线性方程组的增广矩阵的行变换如下

?2?1??3??43?28?114?294??1???50????013????6??0?271474?7?14?7?5??1??140????028???14??001002?100?1??2? 0??0?于是可得： ?x1? ??x3??2x3?1x3?2

??2???3?????其导出组的一个基础解系为：?=?1?，非齐次线性方程组的一个特解为?0=?3?

?1??1?????因此非齐次线性方程组的通解为：?=?0+k?,k?R. (2) 非齐次线性方程组的增广矩阵的行变换如下

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