2014版线性代数练习册第一章参考答案

第一章答案与提示

第一、二节．

一．1. （1）0 （2）5 （3）

n(n?1)n(n?1) （4） （5）n(n?1) 22 3. a11a23a34a42,?a14a23a31a42 4. 正号（(?1)6，注意将行标调为标准排列） 5. (?1)n?1 6. 2，1 （将行标调为标准排列，列标排列的逆序数应为奇数）

37. ?2 （只有主对角线上的元素相乘为x）

8.

n(n?1) 229. 0 （一元n次方程n个根之和为n?1次项的系数变号，本题中x的系数为0，也即a?b?c?0，利用行列式的性质可得结果为0） 10.

n(n?1)2?t 或 Cn?t 2二．1. D?6?410?4610DD ，D1? ，D2?，x1?1?3,x2?2?2

DD575292972. x1?0,x2?0 （仿照1的做法） 三．1. 0（直接利用定义，也可用性质计算）

122.342341341241r1?r2?r3?r4??????????????2310101010112341r1?1023????10?????341234412341141211 23111111111111r2?2r1012?1r3?r2012?1r4?r3012?1r3?3r1???????????????160 ?????10?????10?????10r4?4r101?2?1r4?3r200?4000?400?3?2?1004?4000?4 3. 按定义只有一项不为0，乘积abcd的列标排列为1324，逆序数为奇数，故为 ?abcd 4. 乘积n!的列标排列为23?n1，其逆序数为n?1，故结果为(?1)n?1n!

(n?2)(n?1)(n?2)(n?1)5. 乘积n!的列标排列为(n?1)(n?2)?21n，其逆序数为，故结果为(?1)2n! 26. (?1)n(n?1)2a1na2(n?1)?an1

四． 错。 应该为a11a22a33a44?a14a23a32a41?a11a23a32a44?a14a22a33a41 （利用性质做更简单）

第三、四节．

一. 1. A （B,C,D为充分条件） 2. C（行列式展开定理） 3.C 二．1．0, （第二列及以后各列都加到第一列，则第一列元素全为0）

a11det)aij??2. (?1)na，（(an1?1an?a11??a1n??,而det(?aij)????,每行提取公因子?1）

?ann?an1??ann3. 0 （至少有一行或一列元素全为零）

4. 15 ， （D?a12A12?a22A22?a32A32?a42A42?(?1)?(?5)?2?3?0?7?1?4?15） 5. k；8；?12

三．

1031002041.199??????200395???????100?12?5???????1000c2?1003013006001301c1?c2c3?2c2314r2?r3r1?3r30?8534?5?2000 0412. 1001251202142c4?c2??????????c2?2c1074?71010?15018023?72300按第2行展开????????????????152?5

2?5116168r1?r2????????????170?17?0 r2?2r3116x13.

0x20x4y10x300x1y10x300x20x40x1y1x30000x2x400 y2y40y30y2c2?c30???????????0y3y40y2r2?r3y3??????????00y40?a04.20x1y33b70y1x300c0?x2y4y2x4?(x1x3?y1y3)(x2y4?x4y2)

5a304a3?d0b0?dc?abcd （行列式展开公式） 30b27cd5.(x?a)n?1?x?(n?1)a? （例题）

?1?x1yn???x1y1?1?x1y2??1?x1yn??

6.当n?2时

11?x1y2Dn???11?x2y2?1?x2yn11?xny2?1?xnynx2y11?x2y2?1?x2ynxny11?xny2?1?xnyn

1x1y2?????x1yn??y1x11?1x21?1????xn1?1?0

1x2y2?x2yn1xny2?xnyn当n?2时，D2?1?x1y11?x1y21?x2y11?x2y2??1?x1y1??1?x2y2???1?x1y2??1?x2y1?

第五节

一. D （A,B,C充分不必要） 二．x1?2,x2??三．解

9118,x3??,x4?（所需计算的5个行列式恰好都是范德蒙行列式） 21059??D???1?12??4???????1?

4??414由题意知D?0，解得??

2?19

且??1 4

四．4x?y?3z-8?0（可先求法向量再由平面的点法式得方程）

x?1也可直接写出三点式方程2?1y?1z?13?1?1?1?0

3?1?1?1?1?1

综合题

一. 1.C（利用行列式定义） 2. B

c13. A（A21?A22?A23?A24?**14.B（由ac1**c1**c1?0） **11bc?0可得） bccaab5.A（元素-3的代数余子式为(?1)1?312）

?26二．1. ?a11a24a35a43a52,a11a23a35a44a52（行列式定义）

2. 0 （A， 11?A12?1?A11?1?A12?0?A13?0?A14?0?A15将D的第一行写为1,1,0,0,0即可）0 （同理将第一行换为0,0,1,1,1）

3. ???1（按克拉默法则系数行列式不等于0） 4. (?1)n(n?1)2n(n?1) （将D1做行互换得到D，共做次相邻的行互换） 25. -28 （将D的第四行换为-1,1，-1,1；注意余子式与代数余子式的关系） 6. -1（将行列式按第三列展开，出现x的项有两个，系数分别是1和-2） 7. m-n（

3a11a12?a13a21a22?a2322?a11a12a21a22?a11a13a21a23?a11a12a21a22?a13a23a11a21）

8. 0,0 （展开有a?b9.

?0）

1841?2x（A12?(?1)?0，可解得x?）

554522三． 1.ab(?b?a?ab) (利用性质和按行（列）展开直接计算可得)

2. 1?a?a?a?a?a（按最后一列拆项，第二个行列式从第四行依次加下一行

23451?a?1000a000a01?aa000a000?D4?(?1)5a5，得递推公式）

1?aa?11?a00?100?10?0001?aa?11?a00?101?a0?111?aa?1?a（也可直接按第一行或第一列展开）

四．x?7（第一行元素与第三行元素的代数余子式乘积之和为0） 五．只有零解。（系数行列式展开为(a?1)?0）

23

六． 1. 提示：利用加边法得到五阶范德蒙德行列式，或利用行列式性质。 2. 递推法或技巧法（将Dn按第一列展开得递推公式xDn?1?an） 七．a?a八．

nn?2 （法1：按最后一行展开。法二：第一行加最后一行的-1倍，再将第一列加到最后一列）

11令Dn?A11?A12???A1n?11201?10?03?0

??100?n按最后一行展开n?1????????????????(?1)120103???10010011?n11201?0?3?100??(n?1)!?nDn?1?

???00?n?10n?1??100?n?1n?1??(n?1)!?nDn?1??(n?1)(n?2)?321?n(n?2)?321???n(n?1)?421?n(n?1)?31

（也可利用技巧，将Dn的第二列乘以?1加到第一列，将第三列乘以?1加到第一列，第n列乘以?1加到2n3第一列，则得到上三角行列式）

九． 令x?A41?A42?A43，y?A44?A45，行列式按第四行展开得

A41?A42?A43?2A44?2A45?x?2y?27……………………①

而

2A41?2A42?2A43?A44?A45?2x?y?0……………………②

联立①②解之得x??9,y?18。