最佳估计理论之卡尔曼滤波 - 图文

管理系统分析专题报告

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最佳状态估计理论——卡尔曼滤波方法研究

摘要：在任何系统中，为了对系统形成有效的控制，系统状态的准确把握显得

尤为重要。我们可以通过一系列的手段对特定系统进行观测，以估计出系统的过去、现在、未来的状态，具体应用可分别表现为对过去状况的评估、当前状态的实时控制、趋势的准确预测等等。最优估计出系统状态过程中，实际的量测往往是存在诸如来自系统自身、测量工具等所带来的干扰，控制论中将这种干扰定义为噪声。如何去寻求滤除这种噪声干扰，便成为最佳系统状态估计首先必须解决的问题。

Kalman滤波等一些滤波算法便因此应运而生，其作为一种最优估计理论与方法，由于它的实时递推、存储量小和简单易行的特点，在工程应用中受到了重视，广泛应用于信号处理、控制、通信、航天、制导、目标跟踪、石油勘探、故障诊断、卫星测控、GPS定位、检测与估计及机器人等等领域。

卡尔曼滤波随时间及研究的发展，已形成了多种多样的理论和应用的形式。本次的学习带着了解认识该滤波算法思想和数学思维的目的，只对一般卡尔曼滤波问题（最优预测与最优滤波）进行了基本的研究。据此本文主要内容安排包括：1、卡尔曼滤波的理论背景；2、理论基础（选取离散系统的最优预测问题作为代表）阐述；3、工程扩展应用状况；4、理论局限性等方面。

关键字：卡尔曼滤波；最优估计；状态估计；控制

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目录

1绪论 .............................................................. 4

1.1卡尔曼滤波理论研究及应用概述 .......................................................................... 4 1.2维纳滤波简述 ........................................................................................................ 5 1.３卡尔曼滤波理论概述 ............................................................................................ 7

2卡尔曼滤波理论基础 ................................................ 9

2.1卡尔曼滤波问题的提法 ......................................................................................... 9 2.2离散系统卡尔曼最优预测基本方程的推导（举例） ........................................... 12

2.2.1求解基本过程推演.............................................................................................................. 13 2.2.2卡尔曼预测估计递推方程的计算步骤 .............................................................................. 19 2.2.3应用算例 ............................................................................................................................. 20

3工程扩展应用举例 ................................................. 22

3.1卡尔曼滤波在飞机控制中的应用 ........................................................................ 22 3.2基于卡尔曼滤波方法的时用水量预测（定量描述略） ....................................... 26

4卡尔曼滤波局限性分析 ............................................. 28

4.1稳定性定理 ......................................................................................................... 28 4.2滤波的发散问题 .................................................................................................. 28 4.3卡尔曼滤波理论的进一步发展 ............................................................................ 29

参考文献........................................................... 30

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1绪论

1.1卡尔曼滤波理论研究及应用概述

在自动控制、航空与航天、通讯、导航和工业生产等领域中，越来越多地遇到“估计”问题。所谓“估计”，简单地说，就是从观测数据中提取信息。在飞行器导航中，要从带有随机干扰的观测数据中，估计出飞行器的位置，速度和加速度等运动状态变量，这就遇到状态变量的估计问题，这些变量都是随机过程。因此，“估计”的任务就是从带有随机误差的观测数据中估计出某些参数或某些状态变量，这些被估计参数或状态变量可统称为被称为被估量。我们希望估计出来的参数或状态变量越接近实际值越好。我们希望估计是最好的，因此提出最优估计问题。所谓最优估计，是指在某一确定的准则条件下，按照某种统计意义上来说，估计达到最优。

为了正确地解决参数估计和状态估计问题，首先要研究估计方法。最早的估计方法是高斯（Gauss,K.F.）于1795年在他的关于《天体运动理论》一书中提出的最小二乘法。最小二乘法没有考虑被估参数和观测数据的统计特性，因此这种方法不是最优估计方法。在192年费歇（Fisher,R.A.）提出了极大似然估计方法：从概率密度出发来考虑估计问题，对估计理论做出了重大贡献。对于随机过程的估计问题，到本世纪三十年代才积极开展起来。主要成果为1940年美国学者维纳（Wiener,N）所提出的在频域中设计统计最优滤波器的方法，这一方法称为维纳滤波。同时期，苏联学者哥尔莫郭洛夫（A.H.Ｋолмогоров）提出并初次解决了离散平稳随机序列的观测和外推问题。维纳滤波和哥尔莫郭洛夫滤波方法，局限于处理平稳随机过程，并只能提供稳态的最优估值。这些滤波方法在工程实践上也遇到许多困难，在实际应用上受到一定的限制。

1960年卡尔曼（Kalman,R.E.）和布西（Bucy,R.S）提出了最优递推滤波方法，可用数字计算机来实现。卡尔曼滤波既适用于平稳随机过程，又适用于非平稳随机过程，因此卡尔曼滤波方法得到广泛的应用。本文要学习的卡尔曼滤波理论，正是源于他的博士论文和1960年发表的论文《A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems》（线性滤波与预测问题的新方法）。

卡尔曼滤波在工程实践中，特别在航空空间技术中迅速得到应用。例如在测

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