2019-2020学年数学人教A版选修1-2同步检测：3.1.1数系的扩充与复数概念 Word版含解析

解析：由复数相等的充要条件知，

???x＋y＝0，?x＝1，

解得? ?

?x－1＝0，???y＝－1，

∴x＋y＝0.∴2x＋y＝20＝1. 答案：D

8．已知M＝{2，m2－2m＋(m2＋m－2)i}，N＝{－1,2,4i}，若M∪N＝N，求实数m的值． 解析：因为M∪N＝N，所以M?N，

所以m2－2m＋(m2＋m－2)i＝－1或m2－2m＋(m2＋m－2)i＝4i. 由复数相等的充要条件得

22???m－2m＝－1，?m－2m＝0，

或? ?

22???m＋m－2＝0?m＋m－2＝4，

解得m＝1或m＝2.所以实数m的值是1或2.

基础达标

一、选择题

1．已知复数z＝1＋i，则下列结论中正确的个数是( ) ①z的实部为1；②z>0；③z的虚部为i.

A．1 B．2 C．3 D．0

解析：易知①正确，②③错误，故选A. 答案：A

2．下列各数中，纯虚数的个数是( )

1

2－7，i，i2,5i＋8，i2＋1＋3i,0.618＋ai(a∈R)．

7

A．0 B．1 C．2 D．3

1

解析：由纯虚数的定义知，i，i2＋1＋3i＝3i是纯虚数．

7

答案：C

3．以－5＋2i的虚部为实部，以5i＋2i2的实部为虚部的复数是( ) A．2－2i B．2＋2i

C．－5＋5i D.5＋5i

解析：－5＋2i的虚部为2，5i＋2i2＝－2＋5i，其实部为－2，故所求复数为2－2i. 答案：A

4．若复数2－bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b的值为( )

2

A．－2 B.

3

2

C．－ D．2

3

解析：复数2－bi的实部为2，虚部为－b，由题意知2＝－(－b)，即b＝2. 答案：D

5．复数z1＝sin 2θ＋icos θ，z2＝cos θ ＋i3sin θ(θ∈R)，若z1＝z2，则θ等于( )

π

A．kπ(k∈Z) B．2kπ＋(k∈Z)

3

ππ

C．2kπ±(k∈Z) D．2kπ＋(k∈Z)

26

??sin 2θ＝cos θ，

解析：由复数相等的充要条件可知，?

??cos θ＝3sin θ，

∴cos θ＝

31

，sin θ＝， 22

π

∴θ＝＋2kπ，k∈Z，故选D.

6答案：D

1

6．复数z＝＋(a2－1)i是实数，则实数a的值为( )

a－1

A．1或－1 B．1 C．－1 D．0或－1

?a2－1＝0，?1

解析：因为复数z＝＋(a2－1)i是实数，且a为实数，则?解得a＝－1，

a－1??a－1≠0，

故选C.

答案：C

7．若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为( ) A．1 B．2

C．1或2 D．－1

2???a－3a＋2＝0，?a＝1或a＝2，

解析：根据复数的分类知，需满足?解得?即a＝2.

a－1≠0，a≠1，????

答案：B

二、填空题

8．3i2＋7i的实部为________，虚部为________．

解析：3i2＋7i＝－3＋7i，实部为－3，虚部为7. 答案：－3 7

9．已知复数z＝m＋(m2－1)i(m∈R)满足z<0，则m＝________.

2??m－1＝0，

解析：∵z<0，∴z为实数且小于0，∴?解得m＝－1.

?m<0，?

答案：－1

10．满足x－3i＝(8x－y)i的实数x，y的值分别为________，________.

???x＝0，?x＝0，

解析：依题意得?解得?

?－3＝8x－y，???y＝3.

答案：0 3

11．已知(3x＋y)＋(2x－y)i＝(7x－5y)＋3i，则实数x＝________，y＝________. 解析：∵x，y是实数，∴根据两个复数相等的充要条件，

???3x＋y＝7x－5y，

可得?解得?32x－y＝3，??y＝?2.

9

x＝，4

93答案：

42

12．若sin 2θ－1＋i(2cos θ＋1)是纯虚数(其中i是虚数单位)，且θ∈[0,2π)，则θ＝________.

??sin 2θ－1＝0，解析：因为sin 2θ－1＋i(2cos θ＋1)是纯虚数，所以?所以

??2cos θ＋1≠0，??sin 2θ＝1，

?2cos θ≠－，?2?

π

?θ＝kπ＋4?k∈Z?，即?3π

θ≠2kπ±?k∈Z?，?4

π答案：

4三、解答题

13．已知A＝{1,2，(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i}，B＝{－1,3}，A∩B＝{3}，求实数a的值． 解析：由题意，得(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i＝3，

2??a－5a－6＝0，∴?解得a＝－1.

2??a－3a－1＝3，

π

又θ∈[0,2π)，所以θ＝.

4

14．根据下列条件，分别求实数x，y的值． (1)x2－y2＋2xyi＝2i； (2)(2x－1)＋i＝y－(3－y)i.

解析：(1)∵x2－y2＋2xyi＝2i，且x，y∈R，

22????x－y＝0，?x＝1，?x＝－1，∴?解得?或? ????2xy＝2，?y＝1?y＝－1.

(2)∵(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，且x，y∈R， 5???x＝2，?2x－1＝y，∴?解得? ?1＝－?3－y?，???y＝4.

能力提升 15.若关于x的方程(1＋i)x2－2(a＋i)x＋5－3i＝0(a∈R)有实数解，求a的值． 解析：将原方程整理，得(x2－2ax＋5)＋(x2－2x－3)i＝0. 设方程的实数解为x0，代入上式得

2

(x20－2ax0＋5)＋(x0－2x0－3)i＝0.

2??x0－2ax0＋5＝0，

由复数相等的充要条件，得?

2－2x－3＝0，x?00?

7

得a＝或a＝－3.

3

m2－m－6

16．求当实数m为何值时，z＝＋(m2＋5m＋6)i分别是：

m＋3

(1)虚数；(2)纯虚数；(3)实数． 解析：(1)复数z是虚数的充要条件是

2??m＋5m＋6≠0，

解得m≠－3且m≠－2. ?

??m＋3≠0，

∴当m≠－3且m≠－2时，复数z是虚数． (2)复数z是纯虚数的充要条件是

??m＋3＝0，???m＋5m＋6≠0，

2

m2－m－6

??m＝－2或m＝3，

解得?即m＝3.

??m≠－3且m≠－2，

∴当m＝3时，复数z是纯虚数． m2－m－6

(3)由已知得，复数z的实部为，

m＋3虚部为m2＋5m＋6. 复数z是实数的充要条件是

2???m＋5m＋6＝0，?m＝－2或m＝－3，

解得?即m＝－2. ?

???m＋3≠0，?m≠－3，

∴当m＝－2时，复数z是实数．