2019-2020学年数学人教A版选修1-2同步检测：3.1.1数系的扩充与复数概念 Word版含解析

3．1.1 数系的扩充与复数概念

填一填

1.复数

(1)定义：把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位．满足i2＝－1，a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．

(2)表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式．

2．复数集

(1)定义：全体复数所成的集合叫做复数集． (2)表示：通常用大写字母C表示． 3．两个复数相等的充要条件

在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定： a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d. 4．复数的分类

?

?(1)复数(a＋bi，a，b∈R)??纯虚数?a＝0?

虚数?b≠0??

?非纯虚数?a≠0???

(2)集合表示：

实数?b＝0?

判一判 1.若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．(×) 解析：当b＝0时，z是实数，故错误． 2．复数z＝bi是纯虚数．(×)

解析：当b＝0时，z是实数，故错误．

3．若两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．(√) 解析：由复数相等的充要条件可知正确． 4．－1没有平方根．(×)

解析：－1的平方根为±i，所以错．

5．若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i.(×) 解析：由于两个虚数不能比较大小，所以错．

6．若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1.(×)

解析：由于x，y∈C，所以x＋yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，故错误．

想一想 1.复数m＋ni的实部、虚部一定是m、n吗？ 提示：不一定．只有当m∈R，n∈R时，m，n才是该复数的实部、虚部． 2．对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，它的虚部是b还是bi? 提示：虚部为b.

3．复数z＝a＋bi在什么情况下表示实数？ 提示：当b＝0时z表示实数．

4．复数集C与实数集R之间有什么关系？

提示：R是C的真子集．

5．我们知道0是实数，也是复数，那么它的实部和虚部分别是什么？ 提示：它的实部和虚部都是0.

6．a＝0是z＝a＋bi为纯虚数的充要条件吗？

提示：不是．因为当a＝0且b≠0时，z＝a＋bi才是纯虚数，所以a＝0是复数z＝a＋bi为纯虚数的必要不充分条件．

1

7．z1＝3＋2i，z2＝－3i，z3＝－0.5i，则z1，z2，z3的实部和虚部各是什么？能否说z1>z2?

2

1

提示：z1的实部为3，虚部为2；z2的实部为，虚部为－3；z3的实部为0，虚部为－0.5，

2因为两个虚数不能比较大小，所以不能说z1>z2.

8．若(a－2)＋bi>0，则a，b应满足什么条件？

??b＝0，

提示：要使(a－2)＋bi>0成立，则(a－2)＋bi应为实数，且a－2>0，即?故

??a－2>0，??a>2，

?

??b＝0.

思考感悟：

练一练

1．给出下列四个命题： ①若z∈C，则z2≥0；②2i－1的虚部是2i；③复数3－4i的实部与复数4－3i的虚部相等；④若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数．其中真命题的个数为( )

A．0 B．1 C．2 D．3

解析：对于①，当z∈R时，z2≥0成立，否则不一定成立，如z＝i，z2＝－1<0，所以①

为假命题．对于②，2i－1＝－1＋2i，其虚部为2，不是2i，所以②为假命题．对于③，复数3－4i的实部为3，复数4－3i的虚部为－3，因此③为假命题．对于④，当a＝－1时，(a＋1)i为实数，所以④为假命题，因此四个命题都是假命题．

答案：A

2．下列命题：

①1＋i2＝0；②若x2＋y2＝0，则x＝y＝0；③两个虚数不能比较大小． 是真命题的为________．(填序号)

解析：②当x＝i，y＝1时，x2＋y2＝0，所以②错．所以①③正确． 答案：①③

m2－m－6

3．已知i是虚数单位，m∈R，复数z＝＋(m2－2m－15)i，则当m＝________

m＋3

时，z为纯虚数．

m－m－6??m＋3＝0，

解析：由题意知?

??m－2m－15≠0，

22

解得m＝3或－2.

答案：3或－2

知识点一 1.复数?2－复数的概念

3?i的虚部为( ) 2?

A．2 B．－C．2－

3 2

?

3

D．0 2

解析：由复数定义知C项正确． 答案：C 2．设集合A＝{实数}，B＝{纯虚数}，C＝{复数}，若全集S＝C，则下列结论正确的是( ) A．A∪B＝C B．A＝B

C．A∩(?SB)＝? D．(?SA)∪(?SB)＝C

解析：集合A，B，C的关系如图，可知只有(?SA)∪(?SB)＝C正确．

答案：D

知识点二 复数的分类 3.若复数z＝(m＋2)＋(m2－9)i(m∈R)是正实数，则实数m的值为( ) A．－2 B．3 C．－3 D．±3

2??m－9＝0，

解析：依题意应有?解得m＝3.

m＋2>0，??

答案：B

4．设m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m＝________.

?m2＋m－2＝0，?

解析：复数m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数的充要条件是?解得

2

?m－1≠0，???m＝1或m＝－2，

?

1，??m≠±

即m＝－2.

故m＝－2时，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数． 答案：－2

5．实数m为何值时，z＝lg(m2＋2m＋1)＋(m2＋3m＋2)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数． 解析：(1)若z为实数，则

2???m＋2m＋1>0，?m≠－1，

即? ?

2???m＋3m＋2＝0，?m＝－2或m＝－1，

解得m＝－2.∴当m＝－2时，z为实数．

2??m＋2m＋1>0，(2)若z是虚数，则?

2

?m＋3m＋2≠0，?

??m≠－1，

即? ??m≠－2且m≠－1，

解得m≠－2且m≠－1.

∴当m≠－2且m≠－1时，z为虚数．

2??lg?m＋2m＋1?＝0，(3)若z为纯虚数，则?

2??m＋3m＋2≠0，

2???m＋2m＋1＝1，?m＝0或＝－2，

即?即?

2???m＋3m＋2≠0，?m≠－1且m≠－2.

解得m＝0.

∴当m＝0时，z为纯虚数.

知识点三 复数相等的充要条件 6.若a，b∈R，i是虚数单位，且b＋(a－2)i＝1＋i，则a＋b的值为( ) A．1 B．2 C．3 D．4

解析：由b＋(a－2)i＝1＋i，得b＝1，a＝3，所以a＋b＝4. 答案：D

＋

7．若(x＋y)i＝x－1(x，y∈R)，则2xy的值为( ) 1

A. B．2 2

C．0 D．1