高考文科数学真题导数与函数的零点等综合问题含答案解析

专题6 导数与函数的零点等综合问题

321.【2014全国1，文12】已知函数f(x)?ax?3x?1，若f(x)存在唯一的零点x0，且

x0?0，则a的取值范围是( )

?2,??? （B）?1,??? （C）???,?2? （D）???,?1?

2.【2014高考广东卷.文21】(本小题满分14分)已知函数f?x??(1)求函数f?x?的单调区间；

(2)当a?0时,试讨论是否存在x0??0,???13x?x2?ax?1?a?R?. 3??1??1??1?,1?,使得f?x0??f??. 2??2??2?2x3.【2016高考新课标1文数】（本小题满分12分）已知函数f?x???x?2?e?a?x?1?．

(I)讨论f?x?的单调性；

(II)若f?x?有两个零点,求a的取值范围.

4.【2015高考广东，文21】（本小题满分14分）设a为实数，函数

f?x???x?a??x?a?a?a?1?． （1）若f?0??1，求a的取值范围； （2）讨论f?x?的单调性； （3）当a?2时，讨论f?x??24在区间?0,???内的零点个数． x5. 【 2014湖南文21】已知函数（1）求

f(x)?xcosx?sinx?1(x?0).

f(x)的单调区间；

f(x)的从小到大的第i(i?N*)个零点，证明：对一切n?N*，有

（2）记xi为

1112?????. 222x1x2xn36.【2014四川，文21】已知函数f(x)?e?ax?bx?1，其中a,b?R，e?2.71828?为自然对数的底数。

x2（Ⅰ）设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值： （Ⅱ）若f(1)?0，函数f(x)在区间(0,1)内有零点，证明：e?2?a?1. 7.【2015高考四川，文21】已知函数f(x)＝－2lnx＋x2－2ax＋a2，其中a>0. (Ⅰ)设g (x)为f(x)的导函数，讨论g(x)的单调性；

(Ⅱ)证明：存在a∈(0，1)，使得f(x)≥0恒成立，且f(x)＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解. 8. 【2014全国1，文21】设函数f?x??alnx?1?a2x?bx?a?1?，曲线2y?f?x?在点?1，f?1??处的切线斜率为0

（1）求b;

（2）若存在x0?1,使得f?x0??a，求a的取值范围。 a?19.【2015高考新课标1，文21】（本小题满分12分）设函数f?x??e2x?alnx. （I）讨论f?x?的导函数f??x?的零点的个数； （II）证明：当a?0时f?x??2a?aln2. a210.【2015高考浙江，文20】（本题满分15分）设函数f(x)?x?ax?b,(a,b?R).

a2+1时，求函数f(x)在[-1,1]上的最小值g(a)的表达式； （1）当b=4（2）已知函数f(x)在[-1,1]上存在零点，0?b?2a?1，求b的取值范围.

11.【2015高考湖北，文21】设函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，

f(x)?g(x)?ex，其中e为自然对数的底数.

（Ⅰ）求f(x)，g(x)的解析式，并证明：当x?0时，f(x)?0，g(x)?1； （Ⅱ）设a?0，b?1，证明：当x?0时，ag(x)?(1?a)?12. 【2014福建,文22】（本小题满分14分） 已知函数

f(x)?bg(x)?(1?b). xf(x)?ex?ax（a为常数）的图像与y轴交于点A，曲线y?f(x)在点A处

的切线斜率为?1. （1）求a的值及函数（2）证明：当xf(x)的极值；

2x?0时，x?e

x（3）证明：对任意给定的正数e，总存在x0，使得当x?(x0,??)时，恒有x?ce

]1?a213. (2014课标全国Ⅰ，文21)设函数f(x)＝alnx＋x－bx(a≠1)，曲线y＝f(x)在点2(1，f(1))处的切线斜率为0.

(1)求b；

(2)若存在x0≥1，使得f?x0??a，求a的取值范围． a?114.【2014辽宁文21】（本小题满分12分）

已知函数f(x)??(x?cosx)?2sinx?2，g(x)?(x??)1?sinx2x??1. 1?sinx?证明：（Ⅰ）存在唯一x0?(0,?2)，使f(x0)?0； （Ⅱ）存在唯一x1?(

?2,?)，使g(x1)?0，且对（1）中的x0?x1??. 1.【2014全国1，文12】已知函数

，则的取值范围是( ) （B）

【答案】C

（C）

（D）

，若

存在唯一的零点

，且

，利用导数的正负与函数单调性的关系可得：x?(??,)和

2a20)时函数单调递增，欲要使得函数有唯一的零点且为x?(0,??)时函数单调递减;x?(，a?222a?()3?3()2?1?0?f()?02正，则满足：?a，即得：，可解得：a?4，则aa??f(0)?0a?2(舍去）,a??2．

考点：1.函数的零点;2.导数在函数性质中的运用;3.分类讨论的运用

【名师点睛】本题主要是考查函数的零点、导数在函数性质中的运用和分类讨论思想的运用，在研究函数的性质时要结合函数的单调性、奇偶性、零点、以及极值等函数的特征去研究，本题考查了考生的数形结合能力.

2.【2014高考广东卷.文21】(本小题满分14分)已知函数

.

(1)求函数的单调区间；

(2)当时,试讨论是否存在,使得.

【答案】(1)详见解析；(2)详见解析. 【解析】(1)①当②当解不等式解不等式此时,函数

时,时,方程

,解得,解得

的单调递增区间为

和

,则

,方程,此时

在

的判别式为上是增函数；

,, ,

,

, ,

的两根分别为

或