自创归纳推理学案13.3.29

§1.1.1 归纳推理学案

学习目标 知识与技能

了解归纳推理的含义；能利用归纳的方法进行简单的推理；体会并认识归纳推理在数学发现中的作用. 过程与方法

从实例中说明合情推理中的归纳推理是从特殊到一般的一种推理方法. 情感态度与价值观

体会并认识归纳推理在数学发现中的作用，养成认真观察事物、分析事物、发现事物之间的质的联系的良好品质.

学习过程 1、预习教材P1内容回答：

书上的三个推理案例，各有什么特点？ 知识小结：

推理是从一个或几个已知的判断（前提），推导出另一个未知的结论的 . 任何推理

都包含 和 两个部分.依据推理在结构形式上表现出的不同，推理可分为 与 .

2、预习教材P3-P5内容回答：

①哥德巴赫猜想：即 .

②对一些多面体考察，结合统计出的多面体的面数（F）、顶点数（E）和棱数（V）．通过观察发现，形成的猜想是： “F+V-E=2”为“欧拉公式”. ③已有经验：矩形面积一定时正方形周长最小，将之推广：n边形面积一定时（为1），正n边形周长最小.计算并观察单位面积时的正三角形、正四边形、正六边形、正八边形的周长可以发现： ，

.因此，如果面积是一定的，什么样的平面图形周长最小？我的猜测结论是： ．

以上三个推理共同点是： ．

知识小结：

⑴归纳推理的定义：根据一类事物中 事物具有某种属性,推断该类事物中 事

物都有这种属性,这种推理方式称为 推理. 简言之，归纳推理是 的推理．

归纳推理的结论一定正确么？

⑵归纳推理的一般步骤：

① 通过 特例发现某些 或规律； ② 由这种共性或规律猜想出 （命题）； ③ 对所提出的命题进行 。 ⑶归纳推理的特点：

1.归纳推理是依据特殊现象推断 现象,因而,由归纳推理所得的结论超越了前提所包容的范围.

2.归纳推理是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属 的现象,因而结论具有猜测性.结论是否 ，还需经过逻辑证明和实践检验。它不能作为数学证明的工具。

1

3.归纳推理的前提是 的情况,因而归纳是立足于 、 、 的基础之上. ⑷归纳推理的作用：

(1)发现新事实、获得 ； (2)提供解决问题的思路和方向 ※ 典型例题

例1 观察下列等式：1+3=4=22，

1+3+5=9=32， 1+3+5+7=16=42，

1+3+5+7+9=25=52，

……你能猜想到一个怎样的结论？

变式：从13?1?12，13?23?9?(1?2)2，13?23?33?36?(1?2?3)2

1?2?3?4?100?(1?2?3?4)

33332中得出的一般性结论是

例2已知数列?an?的第一项a1?1，且an?1?公式.

变式：在数列{an}中，a1?1,an? ※ 动手试试

练1. 应用归纳推理猜测111?1?222?2的结果.（有2n个1，n个2）

练2. 在数列{an}中，a1?1，an?1?

2an2?anan1?an(n?1,2,3.)，试归纳出这个数列的通项

12(an?1?1a，试猜想这个数列的通项公式. )（n?2）

n?1（n?N*）,试猜想这个数列的通项公式.

学习评价 ※ 当堂检测

1.下列关于归纳推理的说法错误的是（ ）. A.归纳推理是由一般到一般的一种推理过程 B.归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程

C.归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确 D.归纳推理具有由具体到抽象的认识功能

2.若f(n)?n2?n?41,n?N，下列说法中正确的是（ ）. A.f(n)可以为偶数 B. f(n)一定为奇数 C. f(n)一定为质数 D. f(n)必为合数

2

3.已知f(x?1)?A.f(x)?C.f(x)?4.f(n)?1?42f(x)f(x)?2,f(1)?1 （x?N*），猜想f(x）的表达式为（ ）.

2?21x?112?13x B.f(x)?2x?12

32,f(4)?2,f(8)?52,f(16)?3,f(32)?72 D.f(x)??????1n(n?N?)2x?1，经计算得f(2)?猜测当n?2时，有__________________________. 5.已知:sin215??sin275??sin2130??sin232； ；

3225?sin?285?sin1452?2?2???32sin230?sin2??90?sin1502??；

sin260?sin120??sin180?32。观察上述等式的规律，请你写出一个一般性结论.

6. 从37×3=111,37×6=222,37×9=333,37×12=444中得出的一般性结论是_______ ____ . 7.已知2?23?223,3?38?338,4?415?4415,.......,若

6?ab?6ab,a,b均为实

数,猜测a? ,b? . 8.将全体正整数排成一个三角形数阵：

1 2 3

4 5 6 7 8 9 10

????

按照以上排列的规律，第n行（n?3)从左向右的第3个数为 .

9. 从1?12,2?3?4?32,3?4?5?6?7?52中得出的一般性结论是_____________ . 10．右图中给出了3层的六边形，图中 所有点的个数S3为28，按其规律再画 下去可以得到n层六边形，写出Sn的 表达式为 ※ 学习小结

1．归纳推理的定义.

2. 归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同的性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）. ※ 知识拓展

1.费马猜想：法国业余数学家之王—费马（1601-1665）在1640年通过对F0?22?1?3，

F1?2210?1?5，F2?222?1?17，F3?22?1?257，F4?22?1?65537的观察，发现其结

n34果都是素数，提出猜想：对所有的自然数n，任何形如Fn?22?1的数都是素数. 后来瑞士

3

数学家欧拉发现F5?22?1?4294967297?641?6700417不是素数，推翻费马猜想. 2.四色猜想：1852年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”，四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用1200个小时，作了100亿逻辑判断，完成证明.

5 课后作业 1、 对于任意正整数n，猜想(2n?1)与(n?1)2的大小关系

2、 已知数列{an}的前n项和Sn，a1??猜想Sn的表达式. 3、由

2?13?1?2323，满足Sn?1Sn?2?an(n?2)，计算S1,S2,S3,S4,并

，

1?25?2?15，

3?0.57?0.5?37，运用归纳推理，可猜测出的一般结论

是 . 4、在数列?an?中，a1?0,an?1?12?an(n?N)猜想这个数列的通项公式？

*

5、右图是杨辉三角形的前5行，请你写出第8行，并归纳猜想出一般规律.从上面等式中，你能猜想出什么结论？

6、平面内的1条直线把平面分成2部分，2条相交直

线把平面分成4部分，3条相交直线把平面分成7部分，则n条彼此相交的直线而无三条共点的直线可把平面分成多少部分？

7、若数列?an?的通项公式an算

?1(n?1)2，记f(n)?(1?a1)(1?a2)???(1?an)n?N?，试通过计

f(1),f(2),f(3)的值，推测出f(n)? .

课后反思 你对本节课学完后的学习心得：

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