2012年高考数学最后冲刺 - 坐标系与参数方程

＋(y－3)＝5.

再将C化成极坐标方程，得

(ρcos θ－1)＋(ρsin θ－3)＝5. π??2

化简，得ρ－4ρcos?θ－?－1＝0，

3??此即为所求的圆C的极坐标方程．

π??5??15．在极坐标系中，已知三点M?2，π?，N(2,0)，P?23，?.

6??3??(1)将M、N、P三点的极坐标化为直角坐标． (2)判断M、N、P三点是否在一条直线上．

2

2

5

圆O的直角坐标方程为：x＋y＝x＋y，即x＋y－x－y＝0，

π?2?直线l：ρsin?θ－?＝，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l的直角坐标方程为：

4?2?

2222

y－x＝1，即x－y＋1＝0.

??x＋y－x－y＝0

(2)由?

?x－y＋1＝0?

2

2

??x＝0

得?

?y＝1?

，

?π?故直线l与圆O公共点的极坐标为?1，?.

2??

π

17．在极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，以极点为原点，极轴为x轴

3的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C??x＝2cos α，

的参数方程为?

?y＝1＋cos 2α?

(α为参数)，求直线

l与曲线C的交点P的直角坐标．

π

解析： 因为直线l的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，

3所以直线l的普通方程为y＝3x，①

??x＝2cos α，

又因为曲线C的参数方程为?

??y＝1＋cos 2α

(α为参数)，

12

所以曲线C的直角坐标方程为y＝x(x∈[－2,2])，②

2联立①②解方程组得?

?x＝0，???y＝0

或?

?x＝23，

?y＝6.

根据x的范围应舍去?

?x＝23，?y＝6，

故P点的直角坐标为(0,0)．

18．如图，在圆心的极坐标为A(4,0)，半径为4的圆中，求过极点O的弦的中点的轨迹的极坐标方程，并将其化为直角坐标方程．

解析： 设M(ρ，θ)是轨迹上任意一点，连结OM并延长交圆A于点P(ρ0，θ0)，则有θ0＝θ，ρ0＝2ρ.

由圆心为(4,0)，半径为4的圆的极坐标方程为ρ＝8cos θ得ρ0＝8cos θ0，所以2ρ＝8cos θ，即ρ＝4cos θ，

故所求轨迹方程是ρ＝4cos θ，它表示以(2,0)为圆心，2为半径的圆．

因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，由ρ＝4cos θ得ρ＝4ρcos θ，所以x＋y＝4x，即x＋y－4x＝0为圆的直角坐标方程．

19．求证：过抛物线的焦点的弦被焦点分成的两部分的倒数和为常数．

2

2

2

2

2

证明： 建立如图所示的极坐标系，设抛物线的极坐标方程为ρ＝线的弦，若点P的极角为θ，则点Q的极角为π＋θ.

因此有FP＝，

1－cos θ

p1－cos θ

.PQ是抛物

pFQ＝

p1－cosπ＋θ＝

p1＋cos θ

. 111－cos θ1＋cos θ所以＋＝＋

FPFQpp2

＝(常数)．

p

20．如图，点A在直线x＝4上移动，△OPA为等腰直角三角形，△OPA的顶角为∠OPA(O，

P，A依次按顺时针方向排列)，求点P的轨迹方程，并判断轨迹形状．

π??θ－得点P的轨迹的极坐标方程为2ρcos?＝4. 4???

π??由2ρcos?θ－?＝4得ρ(cos θ＋sin θ)＝4， 4??

3π

∴点P的轨迹的普通方程为x＋y＝4，是过点(4,0)且倾斜角为的直线．

4

?x＝1＋cos θ?

21．已知圆M：?

??y＝sin θ

?x＝2pt?

(θ为参数)的圆心F是抛物线E：?

??y＝2pt2

的焦点，

过焦点F的直线交抛物线于A、B两点，求AF·FB的取值范围.�`【解析方法代码108001169】

4

所以AF·FB＝|t1t2|＝2.

sinθ

因为0

22．已知直线l经过点P(1,1)，倾斜角α＝.

6(1)写出直线l的参数方程；

??x＝2cos θ

(2)设l与圆?

?y＝2sin θ?

2

(θ是参数)相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之

积．

3

?x＝1＋t?2

解析： (1)直线的参数方程是?

1y＝1＋t??2

(t是参数)．

(2)∵点A，B都在直线l上，∴可设点A，B对应的参数分别为t1和t2，则点A，B的坐标分别为A?1＋

?

?31??31?t1，1＋t1?，B?1＋t2，1＋t2?， 22??22?