上海市2018年普通高等学校春季招生统一文化考试数学试卷（解析版）

2018年上海市普通高等学校春季招生统一文化考试

数学试卷

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）

1．不等式|x|?1的解集为__________．

2．计算：lim3n?1?__________．

n??n?2B?__________．

3．设集合A?{x|0?x?2}，B?{x|?1?x?1}，则A4．若复数z?i?i（i是虚数单位），则z?2?__________． z5．已知{an}是等差数列，若a2?a8?10，则a3?a5?a7?__________．

6．已知平面上动点P到两个定点(1,0)和(?1,0)的距离之和等于4，则动点P的轨迹为

__________．

7．如图，在长方形ABCD?A1B1C1D1中，AB?3，BC?4，AA1?5， O是AC11的 中点，则三棱锥A?AOB11的体积为__________．

第7题图 第12题图

8．某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、 四辩．若其中学生 赛且不担任四辩，则不同的安排方法种数为__________．

甲必须参

2??a??9．设a?R，若?x2??与?x?2?的二项展开式中的常数项相等，则a?__________．

x??x??10．设m?R，若z是关于x的方程x?mx?m?1?0的一个虚根，则|z|的取值范围

是__________．

的图象有

229911．设a?0，函数f(x)?x?2(1?x)sin(ax)，x?(0,1)，若函数y?2x?1与y?f(x) 且仅有两个不同的公共点，则a的取值范围是__________．

12．如图，正方形ABCD的边长为20米，圆O的半径为1米，圆心是正方形的中心，点P、Q分别在线段AD、CB上，若线段PQ与圆O有公共点，则称点Q在点P的“盲 区”

中．已知点P以1．5米/秒的速度从A出发向D移动，同时，点Q以1米/秒的速度从

C出发向B移动，则在点P从A移动到D的过程中，点Q在点P的盲区中的时长约为

__________秒（精确到0．1）

二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）

13．下列函数中，为偶函数的是（ ）

（A）y?x （C）y?x?12?2

（B）y?x （D）y?x

313

14．如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1的棱虽在的直线中，与直线BC1

异面的直线条数为（ ） （A）1 （C）3

（B）2 （D）4

15．记Sn为数列{an}的前n项和．“{an}是递增数列”是“Sn为递增数列”的（ ）

（A）充分非必要条件 （C）充要条件

（B）必要非充分条件 （D）既非充分也非必要条件

足

16．已知A、B为平面上的两个定点，且|AB?2|．该平面上的动线段PQ的端点P、Q， 满

|AP|?5，AP?AB?6，AQ??2AP，则动线段PQ所形成图形的面积为（ ）

（A）36

（B）60

（C）81

（D）108

三、解答题（本大题共有5题，满分76分，第17~19题每题14分，20题16分，21题18分）

17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

已知y?cosx． （1）若f(?)?1?，且??[0,?]，求f(??)的值； 33

18． （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

（2）求函数y?f(2x)?2f(x)的最小值．

x22已知a?R，双曲线?:2?y?1．

a（1）若点(2,1)在?上，求?的焦点坐标；

（2）若a?1，直线y?kx?1与?相交于A、B两点，且线段AB中点的横坐标为1，求实数k的

值．

19．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）

利用“平行于圆锥曲线的母线截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两个射灯（射出

的光锥视为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影出的抛物线的平面图，图3是一个射灯的直观图，在图2与图3中，点O、A、B在抛物线上，OC是抛物线的对称轴，OC?AB于C，

AB?3米，OC?4.5米．

（1）求抛物线的焦点到准线的距离；

（2）在图3中，已知OC平行于圆锥的母线SD，AB、DE是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴

的夹角的大小（精确到0．01°）．

图1 图2 图3 20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）

设a?0，函数f(x)?1． x1?a?2?1

（1）若a?1，求f(x)的反函数f(x)；

21．（本题满分18分，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分）

若{cn}是递增数列，数列{an}满足：对任意n?N，存在m?N，使得

**（2）求函数y?f(x)?f(?x)的最大值（用a表示）；

（3）设g(x)?f(x)?f(x?1)．若对任意x?(??,0]，g(x)?g(0)恒成立，求a的取值范围．

am?cn?0，则称{an}是

am?cn?1{cn}的“分隔数列”．

（1）设cn?2n，an?n?1，证明：数列{an}是{cn}的“分隔数列”；

（2）设cn?n?4，Sn是{cn}的前n项和，dn?c3n?1，判断数列{Sn}是否是数列{dn}的分隔数列，

并说明理由；

（3）设cn?aqn?1，Tn{cn}的前n项和，若数列{Tn}是{cn}的分隔数列，求实数a、q的取值范围．