原子物理学2008A卷答案

三. 计算题(共50分)

1. (本题共24分)

1) (8分) 试从角动量量子化条件出发，推导氢原子中电子轨道运动半径r 、能量E的量子表达式，给出相应的电子运动速度。(最终含玻尔半径a0，基态能E1，光速c)

假设电子绕核转动，核静止

mev2e2?2 rr(1) (2)

……………1分 ……………1分

L?mevr?n? (1)(2)联立可得

?222rn??n?an;其中n?1,2,3,...... ……………1分 02meee2e2c?cvn＝??

n??cnn1e22能量E?mev?2r1e22联合（1）得E??mev??…..2分

22rmee4mee4E1所以有En??22?2，E1????13.6eV，为氢原子的基态能。2?nn2?2me2mee4mec2e4me?c2又因为En?－vn??22????()22n ……………3分 2?n2n2?2c2?c所以相应的电子运动速度vn＝n

2) (4分) 写出类氢离子的能量、电子轨道半径、相应电子运动速度表达式。

e2?Ze2meZ2e4Z2En???2(?13.6eV);222?nna0n2?22rn??n?; 2ZmeZevn＝Z?c;n其中n?1,2,3...... ……………3分

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3)(4分)结合描述氢光谱实验规律的里德堡公式，给出里德堡常数的表达式R?。

11?)?T(n)?T(m)22?nmmee4Rhc ……………4分 En对应光谱项?hcT(n)，所以??－2222?nnmee4得里德堡常数为R?2?2hc里德堡公式?R(1

4)(4分) 对氢元素，考虑电子与原子核的质心并不在原子核上时，写出实际里德堡常数R与理论里德堡常数R?之间的关系 。

上面的电子质量应换成折合质量：

me???Mme,M为核的质量

M?me?Mmee4

R??e42?hc2M?me2?2hc所以R?R? ……………4分 me1?M

5)(4分) ?- 子是一种基本粒子，除静止质量是电子质量的207倍外，其余性质与电子相同。当它运动速度较慢时，被质子俘获形成 ? 原子。 试计算：?子原子的最低能量，以及赖曼系中最短波长。

解：折合质量 M = m1 ? m2 /(m1 +m2) = 186 me ……………1分

Me4 En = En??22?186En(H)

2nh

因此，?子原子的最低能量为 E(n=1) = 186 ? (-13.6 eV) = -2530 eV ……………1分

赖曼系中最短波长跃迁对应 从 n = ? ? 1 的跃迁。该跃迁能量即为 2530 eV。

由 hc/? = 2530 eV 计算得到 ?min = 0.49nm ……………2分

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2. (10分) 试分析金属锂Li的漫线系的一条谱线(32D3/2→22P1/2)在弱磁场B中将分裂为多少条谱线？给出分裂后谱线的频率?与原谱线频率?0的关系式，并作出相应的能级跃迁图。

32D3/2：l=2，s=1/2，j=3/2；mj：3/2，1/2，-1/2，-3/2

?2?s?231?lgj???2?22?j????4/5 ??22P1/2：l=1，s=1/2，j=1/2；mj：1/2，-1/2

?2?s?2?31?l??2/3 ………..….3分 gj???2???22?j?32D3/2：mj2 gj2： 6/5 2/5 -2/5 -6/5

mj2 3/2 1/2 -1/2 -3/2 22P1/2： mj1 1/2 -1/2 mj1 gj1： 1/3 -1/3

mj2 gj2- mj1 gj1： (13/15, 11/15, 1/15, -1/15, -11/15,-13/15 )

所以共分裂为六条谱线。 ……………………..3分

Hv’=hv0+ (mj2 gj2- mj1 gj1)μBB

分裂后的谱线频率：v’=v0+ (mj2 gj2- mj1 gj1)μBB/h

= v0+ (13/15, 11/15, 1/15, -1/15, -11/15,-13/15)L其中L=μBB/h ……2分

无磁场

有磁场

mj 3/2 32D3/2

1/2 -1/2 -3/2 1/2 2P1/2

2

-1/2 …………… 2分

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3. (6分) 利用Cu(Z＝29)的K?特征X射线在属于立方点阵的某晶体的晶面上“反射”实验，发现当掠射角??30?时产生一级衍射极大。求该级衍射对应的晶面族的面间距为多少? 解：

对K?线的波长，有h??Rhc(Z?1)2(???d?112?12)?2hc?

41141?????91.16nm?0.155nm ……………3分 3(29?1)2R3(29?1)2?2sin? ……………2分

0.155

2sin30? ?0.155nm ……………1分

4. (10分) 在康普顿散射中，若入射光子的能量等于电子的静止能量，根据康普顿散射公式，试求散射光子的最小能量和电子的最大动量(考虑电子初始状态近似静止)。

?入射光子的能量E??hc/??mec2 ……………1分 康普顿散射，后波长改变量????????散射光子的能量为：

hc?E??hc/???h??(1?cos?)mech(1?cos?) .……………3分 mec?hc/?1?mec2hc1?(1?cos?)1?(1?cos?)mec2? …… ………2分

mec2?2?cos?当??180?时，散射光子的能量最小，为mec2/3。

…………1分

电子获得的动能，来源于光子能量的减少，所有最大电子动能 2mec2/3….……1分 根据相对论效应：E2?(mec2?2mec2/3)2?c2p2?mec4 得电子的最大动量为p?4mec/3（或p?h/??h/??） 如果计算有数值结果也可。

….……2分

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