高三文科数学第二轮复习资料

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——《函数与导数》专题

1．设f(x)是定义在(??,??)上的函数，对一切x?R均有f(x)?f(x?3)?0，且当?1?x?1时，f(x)?2x?3，求当2?x?4时，f(x)的解析式．

?2x?b2. 已知定义域为R的函数f(x)?x?1是奇函数．（Ⅰ）求a,b的值；（Ⅱ）若对任意的t?R，

2?a不等式f(t2?2t)?f(2t2?k)?0恒成立，求k的取值范围.

3．集合A是由适合以下性质的函数f(x)组成的：对于任意的x≥0，f(x)∈(1,4]，且f(x)在[0，+∞)上是减函数.

（1）判断函数f1(x)=2-x及f2(x)=1+3·()(x≥0)是否在集合A中？若不在集合A中，试说明理由；

（2）对于（1）中你认为是集合A中的函数f(x)，不等式f(x)+f(x+2)≤k对于任意的x≥0总成立.求实数k的取值范围.

4. 对于函数f(x)?ax?(b?1)x?b?2(a?0)，若存在实数x0，使f(x0)?x0成立，则称x0为

212xf(x) 的不动点．

（1）当a?2,b??2时，求f(x)的不动点；

（2）若对于任何实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求实数a的取值范围； （3）在(2)的条件下，若y?f(x)的图象上A,B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且直线

y?kx?12a2?1是线段AB的垂直平分线，求实数b的取值范围．

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5. 已知函数f(x)=2x+ax与g(x)=bx+c的图像都过P（2，0），且在点P处有相同的切线. （1）求实数a、b、c的值；

（2）设函数F(x)=f(x)+g(x)，求F(x)的单调区间.

6．设x=1与x=2是函数f(x) = a lnx + bx2 + x的两个极值点．

（Ⅰ）试确定常数a和b的值；

（Ⅱ）试判断x=1，x=2是函数f(x)的极大值还是极小值，并说明理由.

7. 2005年10月12日，我国成功发射了“神州”六号载人飞船，这标志着中国人民又迈出了具

有历史意义的一步.已知火箭的起飞重量M是箭体（包括搭载的飞行器）的重量m和燃料重量x之和.在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y关于x的函数关系式为：

y?k[ln(m?x)?ln(2m)]?4ln2(其中k?0).当燃料重量为(e?1)m吨（e为自然对数

的底数，e?2.72）时，该火箭的最大速度为4（km/s）.

（Ⅰ）求火箭的最大速度y(km/s)与燃料重量x吨之间的函数关系式y?f(x)；

（Ⅱ）已知该火箭的起飞重量是544吨，是应装载多少吨燃料，才能使该火箭的最大飞行速度达到8km/s，顺利地把飞船发送到预定的轨道？

8．某工厂统计资料显示，产品次品率?与日产量x（件）（x?N且1?x?89）的关系符合如下

规律：

x

?

1 2 3 4 ? ? 89 2 991 492 971 482 11又知每生产一件正品盈利?元，每生产一件次品损失

?元(a?0). 2 （Ⅰ）将该厂日盈利额T（元）表示为日产量x（件）的函数；

（Ⅱ）为了获得最大盈利该厂的日产量应定为多少件？（取3?1.7计算）．

9. 某厂家拟在2006年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件

与年促 销费用m万元（m≥0）满足x?3?k（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售m?1量只能

是1万件.已知2006年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要投入16万

元，厂家

将每年产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两

部分资

金，不包括促销费用）.

（1）将2006年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数； （2）该厂家2006年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？

10．某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，

决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，

但实际出厂单价不能低于51元．

（Ⅰ）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？

（Ⅱ）设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P?f(x)的表达式； （Ⅲ）当销售商一次订购多少件时，该厂获得的利润为6000元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价－成本）

11. 甲、乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数f（x）、g（x），当甲公司投入x万

元作宣传时，若乙公司投入的宣传费小于f（x）万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险；当乙公司投入x万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费小于g（x）万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险． （Ⅰ）试解释f(0)?10,g(0)?20的实际意义； （Ⅱ）设f(x)?1x?10,g(x)?4x?20，甲、乙公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意

在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问甲、乙两公司应投入多少宣传费？

12. 某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年

销售量为、5000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆

车投入成本增加的比例为x（0＜x＜1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x，年销售量也相应增加.已知年利润=（每辆车的出厂价－每辆车的投入成本）×年销售量.

（Ⅰ）若年销售量增加的比例为0.4x，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？

（Ⅱ）年销售量关于x的函数为y?3240(?x?2x?)，则当x为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？

253 参考答案

1.解：由f(x)?f(x?3)?0有f(x?3)??f(x)，

当?1?x?1时，f(x?3)??f(x)??2x?3.

设x?3?t，则由?1?x?1得2?t?4，又x?t?3， 于是f(t)??2(t?3)?3??2t?9， 故当2?x?4时，f(x)??2x?9．

b?11?2x?0?b?1?f(x)?2.解：（Ⅰ）因为f(x)是奇函数，所以f(0)=0，即 a?2a?2x?111?2 又由f（1）= -f（-1）知??2?a?2.

a?4a?11?1?2x11??? （Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)?，易知f(x)在(??,??)上为减函数．

2?2x?122x?1又因f(x)是奇函数，从而有不等式：f(t2?2t)?f(2t2?k)?0 等价于f(t2?2t)??f(2t2?k)?f(k?2t2)， 因f(x)为减函数，由上式推得：t?2t?k?2t．

2即对一切t?R有：3t?2t?k?0，从而判别式??4?12k?0?k??.

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３.解:（1）∵f1(49)=2-49=-5?(1,4]，∴f1(x)不在集合A中．

又∵x≥0, ∴0＜()≤1， ∴0＜3·()≤3，从而1＜1+3·()≤4．∴f2(x)∈(1,4]．

又f2(x)=1+3·()在[0，+∞)上为减函数，∴f2(x)=1+3·()在集合A中.

（2）当x≥0时，f(x)+f(x+2)=2+

12x12x12x12x12x151x23·()≤． 42423． 4 又由已知f(x)+f(x+2) ≤k对于任意的x≥0总成立, ∴k≥ 因此所求实数k的取值范围是[

４.解： f(x)?ax?(b?1)x?b?2(a?0)， （1）当a?2,b??2时，f(x)?2x?x?4．

2223,+∞)． 4