广东省珠海市2015-2016学年高二数学下学期期末试卷 理解析版

∴3.030＜3.841，所以没有95%把握认为“手机迷”与性别有关．… （3）由频率分布直方图知，抽到“手机迷”的频率为0.25， 将频率视为概率，即从大学生中抽取一名“手机迷”的概率为． 由题意知，X～B（3，）．且Y=40X ∴X的分布列为： X 0 P ，

1 ．…

2 3

24．已知函数f（x）=ax3+cx（a≠0，a∈R，c∈R），当x=1时，f（x）取得极值﹣2． （1）求函数f（x）的解析式；

（2）求函数f（x）的单调区间和极大值；

（3）若对任意x1、x2∈[﹣1，1]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤t恒成立，求实数t的最小值．

【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（1）求出f（x）的导数，得到关于a，c的方程组，解出a，c的值即可； （2）解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极大值即可；

（3）求出f（x）在[﹣1，1]的最大值和最小值，]，从而求出|f（x1）﹣f（x2）|的最大值，得到t的最小值即可． 【解答】解：（1）由已知得：f′（x）=3ax2+c… 又当x=1时，f（x）取得极值﹣2， ∴

3

，即，解得…

∴f（x）=x﹣3x．…

（2）f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1），令f′（x）=0，得x=±1， 当﹣1＜x＜1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；

当x＜﹣1或x＞1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增； ∴函数f（x）的递增区间是（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）；递减区间为（﹣1，1）．… 因此，f（x）在x=﹣1处取得极大值，且极大值为f（﹣1）=2．… （3）由（2）知，函数f（x）在区间上单调递减，

且f（x）在区间上的最大值为M=f（﹣1）=2．最小值为m=f（1）=﹣2．…9 ∴对任意x1、x2∈[﹣1，1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤M﹣m=4成立． 故t≥4，t的最小值为4…

25．已知函数f（x）=lnx﹣kx+2，k∈R． （1）若k=1，求函数f（x）的单调区间；

（2）若f（x）＜2在R+上恒成立，求k的取值范围； （3）若x1＞0，x2＞0，x1+x2＜ex1x2，求证x1+x2＞1．

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；

（2）问题转化为k＞在R上恒成立，设g（x）=

+

（x＞0），根据函数的单调性求出

g（x）的最大值，从而求出k的范围即可；

（3）根号g（x）的单调性，得到即，，

相加整理即可．

【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），

…．

∵∵

，∴0＜x＜1， ，∴x＞1…．

故函数f（x）的递增区间为（0，1），递减区间为（1，+∞）…．

+

（2）欲使f（x）＜2?lnx﹣kx＜0＜在R上恒成立， 只需k＞

在R+上恒成立…．

设g（x）=（x＞0），g′（x）=，

x∈（0，e），g′（x）＞0，g（x）为增函数，

x∈（e，+∞），g′（x）＜0，g（x）为减函数， ∴x=e时，g（e）=是最大值， 只需＜k，即k＞… （3）∵

由（2）可知g（x）在（0，e）上单调增，…

，即，

同理…

相加得，

∴

得：x1+x2＞1．…

，