(浙江专用)2019高考数学二轮复习 专题一 三角函数与平面向量 第2讲 三角恒等变换与解三角形学案

一、选择题

1.已知α∈R，sin α＋2cos α＝4A. 3

3B. 4

10， 2

10

，则tan 2α等于( ) 2

3C.－ 4

4D.－

3

解析 ∵sin α＋2cos α＝

522

∴sin α＋4sin α·cos α＋4cosα＝. 2用降幂公式化简得4sin 2α＝－3cos 2α， sin 2α3

∴tan 2α＝＝－.故选C.

cos 2α4答案 C

C5

2.(2018·全国Ⅱ卷)在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝( )

25

A.42

B.30

C.29

D.25

132C222

解析 因为cos C＝2cos－1＝2×－1＝－，所以由余弦定理，得AB＝AC＋BC－

255

?3?2AC·BCcos C＝25＋1－2×5×1×?－?＝32，所以AB＝42，故选A.

?5?

答案 A

π1

3.(2018·北京西城区调研)在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cos A＝( )

43310

A.

10

B.10 10

C.－

10 10

310D.－ 10

π12

解析 设BC边上的高AD交BC于点D，由题意B＝，BD＝BC，DC＝BC，tan∠BAD＝1，

4331＋210

tan∠CAD＝2，tan∠BAC＝＝－3，所以cos∠BAC＝－. 1－1×210答案 C

1＋sin β?π??π?4.设α∈?0，?，β∈?0，?，且tan α＝，则( )

2?2?cos β??π

A.3α－β＝

2π

C.3α＋β＝

2

π

B.2α－β＝ 2π

D.2α＋β＝ 2

1＋sin βsin α1＋sin β解析 由tan α＝得＝，

cos βcos αcos β即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， ∴sin(α－β)＝cos α＝sin?

?π－α?.

??2?

?π??π?∵α∈?0，?，β∈?0，?，

2?2???

?ππ?π?π?∴α－β∈?－，?，－α∈?0，?，

2??22?2?

π?π?∴由sin(α－β)＝sin?－α?，得α－β＝－α，

2?2?π

∴2α－β＝.

2答案 B

5π??π?1??2?π

5.(2018·杭州调研)已知cos?x－?＝，则cos?2x－?＋sin?－x?的值为( )

3?33????3?1

A.－

9

1B. 9

5C. 3

5D.－

3

5π???2?π

解析 cos?2x－?＋sin?－x?

3???3?2?π??2?＝－cos?2x－π?＋sin?x－? 3?3???π?π?2?2?＝1－2cos?x－?＋1－cos?x－? 3?3???π?52?＝2－3cos?x－?＝. 3?3?答案 C

6.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三角形，且满足sin B(1＋2cos C)＝2sin Acos C＋cos A sin C，则下列等式成立的是( ) A.a＝2b

B.b＝2a

C.A＝2B

D.B＝2A

解析 等式右边＝2sin Acos C＋cos Asin C＝sin Acos C＋sin(A＋C)＝sinAcos C＋sin B. 等式左边＝2sin Bcos C＋sin B，

2sin Bcos C＋sin B＝sin Acos C＋sin B， 因为角C为锐角三角形的内角，所以cos C不为0. 所以2sin B＝sin A，根据正弦定理，得a＝2b. 答案 A

二、填空题

7.(2018·金华模拟)已知sin?

?π－α?＝1?0<α<π?，则sin?π＋α?＝________.

?3??6?2??3?????

?π?1

解析 ∵sin?－α?＝，

?3?3

?π?π???π??π?1

∴cos?＋α?＝cos?－?－α??＝sin?－α?＝；

???6??3?3?2?3

πππ2π

又0<α<，∴<＋α<，

2663

?π?∴sin?＋α?＝?6?

答案

22

3

?π?1－cos?＋α?＝?6?

2?1?22.

1－??＝

3?3?

2

8.(2018·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b＋c－a＝8，则△ABC的面积为________.

解析 由bsin C＋csin B＝4asin Bsin C得sin Bsin C＋sin Csin B＝4sin Asin Bsin C，1b＋c－a83

因为sin Bsin C≠0，所以sin A＝.因为b2＋c2－a2＝8，所以cos A＝＝＝，

22bc2bc2831183123

所以bc＝，所以S△ABC＝bcsin A＝××＝. 322323答案

23 3

2

2

2

2

2

2

9.(2018·稽阳联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知csin A＝3acos

C，则C＝________；若c＝31，△ABC的面积为

33

，则a＋b＝________. 2

解析 由正弦定理可得sin Csin A＝3sin A·cos C，∵在△ABC中，sin A≠0， π133222

∴tan C＝3，C＝，又absin C＝，∴ab＝6，再由余弦定理得c＝a＋b－2abcos C，

322即31＝a＋b－ab，31＝(a＋b)－3ab，∴a＋b＝7. 答案

π

7 3

3222c(a＋c－b)，且∠C为钝角，则∠B＝________；4a2

2

2

10.(2018·北京卷)若△ABC的面积为的取值范围是________.

132223

解析 △ABC的面积S＝acsin B＝(a＋c－b)＝×2accos B，所以tan B＝3，因

244

为0°<∠B<90°，所以∠B＝60°.因为∠C为钝角，所以0°<∠A<30°，所以0

，3

csin Csin（120°－A）sin 120°cos A－cos 120°sin A31c所以＝＝＝＝＋>2，故

asin Asin Asin A2tan A2a的取值范围为(2，＋∞). 答案 60° (2，＋∞)

11.(2018·江苏卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为________.

解析 因为∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，所以∠ABD＝∠CBD＝60°，由三角111

形的面积公式可得acsin 120°＝a×1×sin 60°＋c×1×sin 60°，化简得ac＝a＋c，

22211c4a?11?又a>0，c>0，所以＋＝1，则4a＋c＝(4a＋c)·?＋?＝5＋＋≥5＋2ac?ac?

acc4a·＝9，ac当且仅当c＝2a时取等号，故4a＋c的最小值为9. 答案 9 三、解答题

12.(2018·浙江卷)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边4??3

过点P?－，－?.

5??5(1)求sin(α＋π)的值；

5

(2)若角β满足sin(α＋β)＝，求cos β的值.

134?4?3

解 (1)由角α的终边过点P?－，－?得sin α＝－，

5?5?54

所以sin(α＋π)＝－sin α＝.

5

34?3?－，－(2)由角α的终边过点P?得cos α＝－， ?5?5?5512

由sin(α＋β)＝得cos(α＋β)＝±.

1313

由β＝(α＋β)－α得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α， 5616

所以cos β＝－或cos β＝.

6565

45

13.(2018·江苏卷)已知α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－. 35(1)求cos 2α的值； (2)求tan(α－β)的值.