（浙江专用）2019高考数学二轮复习 专题一 三角函数与平面向量 第2讲 三角恒等变换与解三角形学案

第2讲 三角恒等变换与解三角形

高考定位 1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中同角三角函数的基本关系、诱导公式是解决计算问题的工具，三角恒等变换是利用三角恒等式(两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)进行变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心；2.正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题.

真 题 感 悟

1

1.(2018·全国Ⅲ卷)若sin α＝，则cos 2α＝( )

38A. 9

7B. 9

2

2

7C.－ 98D.－

9

?1?7

解析 cos 2α＝1－2sinα＝1－2×??＝. ?3?9

答案 B

2.(2018·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为则C＝( ) πA. 2

B.π 3

C.π 4

2

2

2

a2＋b2－c2

4

，

D.

π 6

2

2

2

1a＋b－ca＋b－c解析 根据题意及三角形的面积公式知absin C＝，所以sin C＝＝cos

242abC，所以在△ABC中，C＝.

答案 C

3.(2018·浙江卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝7，b＝2，A＝60°，则sin B＝________，c＝________.

3

2×

2bsin A21

解析 因为a＝7，b＝2，A＝60°，所以由正弦定理得sin B＝＝＝.由

a77余弦定理a＝b＋c－2bccos A可得c－2c－3＝0，所以c＝3. 答案

21

3 7

2

2

2

2

π4

4.(2017·浙江卷)已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2.点D为AB延长线上一点，BD＝2，连接

CD，则△BDC的面积是________，cos∠BDC＝________.

解析 依题意作出图形，如图所示， 则sin∠DBC＝sin∠ABC.

由题意知AB＝AC＝4，BC＝BD＝2， 则sin∠ABC＝

151，cos∠ABC＝. 44

111515

所以S△BDC＝BC·BD·sin∠DBC＝×2×2×＝.

2242

1BD＋BC－CD8－CD因为cos∠DBC＝－cos∠ABC＝－＝＝，所以CD＝10.

42BD·BC8由余弦定理，得cos∠BDC＝

15

2

10 4

考 点 整 合

1.三角函数公式

sin α22

(1)同角关系：sinα＋cosα＝1，＝tan α.

cos α(2)诱导公式：对于“

4＋10－42×2×10

＝

10. 4

2

2

2

2

答案

kπ

2

±α，k∈Z的三角函数值”与“α角的三角函数值”的关系可按

下面口诀记忆：奇变偶不变，符号看象限. (3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式： sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； cos(α±β)＝cos αcos βsin αsin β；

tan α±tan βtan(α±β)＝. 1tan αtan β(4)二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cosα－sinα＝2cosα－1＝1－2sinα.

(5)辅助角公式：asin x＋bcos x＝a＋bsin(x＋φ)，其中tan φ＝. 2.正弦定理、余弦定理、三角形面积公式 (1)正弦定理

在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)；

sin Asin Bsin C变形：a＝2Rsin A，sin A＝

2

2

2

2

2

2

baabca， 2Ra∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等.

(2)余弦定理

在△ABC中，a＝b＋c－2bccos A；

222

b2＋c2－a2

变形：b＋c－a＝2bccos A，cos A＝.

2bc2

2

2

(3)三角形面积公式

S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B.

热点一 三角恒等变换及应用

【例1】 (1)(2018·全国Ⅰ卷)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，2

终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α＝，则|a－b|＝( )

31A. 5

B.5 5

C.25

5

D.1

121212

3π??cos?α－?10?π?

(2)若tan α＝2tan ，则＝( )

5π??sin?α－?5??A.1

B.2

C.3

D.4

(3)如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C，B在圆O上，且点C位于第一象限，点B5??12

的坐标为?，－?，∠AOC＝α.若|BC|＝1，则

13??133cos

2

ααα3

－sin·cos－的值为________. 2222

22

解析 (1)由题意知cos α>0.因为cos 2α＝2cosα－1＝，所以cos

3

α＝

3065?a－b?，所以|a－b|＝5.，sin α＝±，得|tan α|＝.由题意知|tan α|＝??6655?1－2?

故选B.

3π?3π?π???π?cos?α－?sin?＋α－?sin?α＋?10?10?5???2?

(2)＝＝ π?π?π????sin?α－?sin?α－?sin?α－?5?5?5????tan α＋1πππ

tansin αcos＋cos αsin

5552＋1

＝＝＝＝3.

ππtan α2－1

sin αcos－cos αsin－1

55π

tan5

(3)由题意得|OC|＝|OB|＝|BC|＝1，从而△OBC为等边三角形，

所以sin∠AOB＝sin?所以3cos

2

?π－α?＝5，

?13

?3?

ααα3－sincos－ 2222

1＋cos αsin α3

＝3·－－

22213

＝－sin α＋cos α

22

?π?5＝sin?－α?＝. ?3?13

5答案 (1)B (2)C (3)

13

探究提高 1.解决三角函数的化简求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示 (1)当已知角有两个时，“所求角”一般表示为“两个已知角”的和或差的形式； (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.

2.求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解. 【训练1】 (1)(2018·全国Ⅱ卷)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.

(2)(2017·北京卷)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关1

于y轴对称.若sin α＝，则cos(α－β)＝________.

3(3)(2018·湖州质检)若cos(2α－β)＝－

1143ππ，sin(α－2β)＝，0<β<<α<，则14742

α＋β的值为________.

解析 (1)∵sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0， ∴sinα＋cosβ＋2sin αcos β＝1，① cosα＋sinβ＋2cos αsin β＝0，② ①②两式相加可得

sinα＋cosα＋sinβ＋cosβ＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＝1， 1

∴sin(α＋β)＝－. 2

(2)α与β的终边关于y轴对称，则α＋β＝π＋2kπ，k∈Z， ∴β＝π－α＋2kπ，k∈Z.

∴cos(α－β)＝cos(α－π＋α－2kπ) ＝－cos 2α＝－(1－2sinα)

2

2

2

2

2

2

2

2

2