2020年高考理科数学《圆锥曲线》题型归纳与训练及答案

2020年高考理科数学《圆锥曲线》题型归纳与训练

【题型归纳】 题型一 求曲线的方程

例1已知F1(?2,0)，F2(2,0)，点P满足|PF1|?|PF2|?2，记点P的轨迹为E．求轨迹E的方程．

y2【答案】x??1

32【解析】由|PF1|?|PF2|?2?4?|F1F2|可知：点P的轨迹E是以F1,F2为焦点的双曲线的右支，

y21x?0）由c?2,2a?2，∴b?2?1?3，故轨迹E的方程为x??（. 32222【易错点】（1）对于双曲线的定义理解片面；（2）如果动点P满足， PF2a?F1F2）1?PF2?2a（则点P的轨迹是双曲线。但该题已知条件中给出的是“|PF1|?|PF2|?2”只能表示点

P的轨迹是双曲线的右支，而不是双曲线的全部。

【思维点拨】利用双曲线解题时，一定要观察是双曲线的全部还是部分。 题型二 定值、定点问题

x2y2

例2已知椭圆C：a2＋b2＝1过A(2,0)，B(0,1)两点． (1)求椭圆C的方程及离心率；

(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值． x223

【答案】(1)4＋y＝1，e＝2(2)2.

1

【解析】(1)由题意得a＝2，b＝1， x22

所以椭圆C的方程为4＋y＝1.

c3

又c＝a－b＝3，所以离心率e＝a＝2.

2

2

2

(2)证明：设P(x0，y0)(x0＜0，y0＜0)，则x0＋4y20＝4.

又A(2,0)，B(0,1)，

y0所以直线PA的方程为y＝(x－2).

x0－2

2y02y0

令x＝0，得yM＝－，从而|BM|＝1－yM＝1＋.

x0－2x0－2y0－1

直线PB的方程为y＝xx＋1.

0

x0x0

令y＝0，得xN＝－，从而|AN|＝2－xN＝2＋.

y0－1y0－11

所以四边形ABNM的面积S＝2|AN|·|BM|

2x0??2y0?x22x0y0－2x0－4y0＋41?0＋4y0＋4x0y0－4x0－8y0＋4

2＋1＋???＝2. ＝2?＝y0－1??x0－2?＝2x0y0－x0－2y0＋2x0y0－x0－2y0＋2?

从而四边形ABNM的面积为定值.

【易错点】(1)．想不到设出P(x0，y0)后，利用点斜式写出直线PA，PB的方程．不会由直线PA，PB的方程求解|BM|，|AN|；

1

(2)．不知道四边形的面积可用S＝2| AN|·|BM|表示；

(3)．四边形ABNM的面积用x0，y0表示后，不会变形、化简，用整体消参来求值．

【思维点拨】第(1)问由a＝2，b＝1，c＝3，解第一问；

2

1

第(2)问画草图可知AN⊥BM，四边形ABNM的面积为2|AN|·|BM|，设点P(x0，y0)，1得出PA，PB的方程，进而得出M，N的坐标，得出|AN|，|BM|，只需证明2|AN|·|BM|是一个与点P的坐标无关的量即可．

x2y2??3?，,3?例3已知椭圆C：四点PP1)，P?P4?1，?1(1,1)，2(0，3??1，2＋2＝1(a>b>0)，ab??2?2?????中恰有三点在椭圆C上． (1)求C的方程；

(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为－1，证明：l过定点． x22

【答案】(1)4＋y＝1(2)(2，－1)

【解析】(1)因为P3??1，3?，P4?1，,3?，所以P3，P4两点关于y轴对称， 故由题设知椭圆C经过P3，P4两点． 1113

又由a2＋b2>a2＋4b2知，椭圆C不经过点P1， 所以点P2在椭圆C上. 1??b2＝1，因此?13

?＋?a24b2＝1，

????2??????2??

2??a＝4，

解得?2

?b＝1.?

x22

故椭圆C的方程为4＋y＝1.

(2)证明：设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2. 如果l与x轴垂直，设l：x＝t，

3

由题设知t≠0，且|t|<2，可得A，B的坐标分别为???t，4?t2?，?4?t2???2??t，?????2?. ?则k＝4－t2－24－t2＋2

1＋k22t－2t

＝－1， 得t＝2，不符合题设．从而可设l：y＝kx＋m(m≠1)． 将y＝kx＋m代入x24＋y2

＝1得 (4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0. 由题设可知Δ＝16(4k2－m2＋1)>0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， x8km

4m2－41＋x2＝－4k2＋1，x1x2＝4k2＋1.

而ky1－1y2－1

1＋k2＝x1

＋x2

＝kx1＋m－1kx2＋m－1x1＋x2 ＝

2kx1x2??m?1??x1?x2?x.

1x2由题设k1＋k2＝－1，故(2k＋1)x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＝0. 即(2k＋1)·4m2－4－8km

4k2＋1＋(m－1)·4k2＋1＝0.

解得k＝－m＋1

2.

当且仅当m>－1时，Δ>0，于是 l：y＝－m＋1

2x＋m，

4