高考数学总复习2021版人教版A版高2021届高2018级第三章一元函数的导数及其应用顶层设计前瞻函数与导数热点

函数与导数热点问题

三年真题考情

核心热点 利用导数研究函数的性质 真题印证 2019·Ⅲ,20;2018·Ⅱ,21;2018·Ⅰ,21;2017·Ⅱ,21 2019·Ⅱ,20;2019·江苏,19;2018·Ⅱ,21(2) 2019·Ⅰ,20;2018·Ⅰ,21;2017·Ⅲ,21;2017·Ⅱ,21 核心素养 数学运算、逻辑推理 利用导数研究函数的零点 数学运算、直观想象 导数在不等式中的应用 热点聚焦突破

数学运算、逻辑推理 教材链接高考——导数在不等式中的应用

[教材探究](选修2－2P32习题1.3B组第1题(3)(4))

利用函数的单调性证明下列不等式,并通过函数图象直观验证. (3)ex>1＋x(x≠0); (4)ln x0).

[试题评析] 1.问题源于求曲线y＝ex在(0,1)处的切线及曲线y＝ln x在(1,0)处的切线,通过观察函数图象间的位置关系可得到以上结论,可构造函数f(x)＝ex－x－1与g(x)＝x－ln x－1对以上结论进行证明.

2.两题从本质上看是一致的,第(4)题可以看作第(3)题的推论.在第(3)题中,用“ln x”替换“x”,立刻得到x>1＋ln x(x>0且x≠1),进而得到一组重要的不等式链：ex>x＋1>x－1>ln x(x>0且x≠1).

3.利用函数的图象(如图),不难验证上述不等式链成立. 【教材拓展】 试证明：ex－ln x>2.

证明 法一 设f(x)＝ex－ln x(x>0), 11

则f′(x)＝ex－x,令φ(x)＝ex－x, 1

则φ′(x)＝ex＋x2>0在(0,＋∞)恒成立, 所以φ(x)在(0,＋∞)单调递增, 1

即f′(x)＝ex－x在(0,＋∞)上是增函数, ?1?又f′(1)＝e－1>0,f′?2?＝e－2<0,

??1?1?

∴f′(x)＝ex－x在?2，1?内有唯一的零点.

??

11

不妨设f′(x0)＝0,则ex0＝x,从而x0＝ln x＝－ln x0,

0

0

所以当x>x0时,f′(x)>0;当0

∴f(x)min＝f(x0)＝ex0－ln x0＝x＋x0>2,x0∈?2，1?.

??0故ex－ln x>2.

法二 注意到ex≥1＋x(当且仅当x＝0时取等号), x－1≥ln x(当且仅当x＝1时取等号), ∴ex＋x－1>1＋x＋ln x,故ex－ln x>2.

探究提高 1.法一中关键有三点：(1)利用零点存在定理,判定极小值点1?1?x

，1??x0∈2;(2)确定e0＝x,x0＝－ln x0的关系;(3)基本不等式的利用. ??02.法二联想经典教材习题结论,降低思维难度,优化思维过程,简洁方便. 【链接高考】 (2017·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)＝ln x＋ax2＋(2a＋1)x. (1)讨论f(x)的单调性;

3

(2)当a<0时,证明f(x)≤－4a－2. (1)解 f(x)的定义域为(0,＋∞),

（2ax＋1）（x＋1）1

且f′(x)＝x＋2ax＋2a＋1＝. x若a≥0,则当x∈(0,＋∞)时,f′(x)>0,

故f(x)在(0,＋∞)上单调递增, 1??0，－若a<0,则当x∈?时,f′(x)>0; 2a????1?

当x∈?－2a，＋∞?时,f′(x)<0.

??

1???1?

故f(x)在?0，－2a?上单调递增,在?－2a，＋∞?上单调递减.

????

1

(2)证明 由(1)知,当a<0时,f(x)在x＝－2a处取得最大值,最大值为1?1?

ln?－2a?－1－4a, ??

313?1?所以f(x)≤－4a－2等价于ln?－2a?－1－4a≤－4a－2,

???1?1

即ln?－2a?＋2a＋1≤0,

??

1设g(x)＝ln x－x＋1,则g′(x)＝x－1. 当x∈(0,1)时,g′(x)>0;x∈(1,＋∞)时,g′(x)<0. 所以g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,＋∞)上单调递减. 故当x＝1时,g(x)取得最大值,最大值为g(1)＝0. 所以当x>0时,g(x)≤0,

?1?1

从而当a<0时,ln?－2a?＋2a＋1≤0,

??3

故f(x)≤－4a－2.

教你如何审题——利用导数研究函数的性质

【例题】 (2019·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝(x－1)ln x－x－1. 证明：(1)f(x)存在唯一的极值点;

(2)f(x)＝0有且仅有两个实根,且两个实根互为倒数. [审题路线]

?1?f?－2a?＝??

[自主解答]

证明 (1)f(x)的定义域为(0,＋∞). x－11f′(x)＝x＋ln x－1＝ln x－x.

1

因为y＝ln x在(0,＋∞)上单调递增,y＝x在(0,＋∞)上单调递减, 所以f′(x)在(0,＋∞)上单调递增.

1ln 4－1

又f′(1)＝－1<0,f′(2)＝ln 2－2＝2>0, 故存在唯一x0∈(1,2),使得f′(x0)＝0. 又当xx0时,f′(x)>0,f(x)单调递增, 因此,f(x)存在唯一的极值点.

(2)由(1)知f(x0)0, 所以f(x)＝0在(x0,＋∞)内存在唯一根x＝α. 1

由α>x0>1得α<1

f（α）?1??1?11

又f?α?＝?α－1?lnα－α－1＝α＝0,

????1

故α是f(x)＝0在(0,x0)的唯一根.

综上,f(x)＝0有且仅有两个实根,且两个实根互为倒数.

探究提高 1.利用导数研究函数的性质是历年高考的重点、热点,涉及的主要内容：(1)讨论函数的单调性;(2)求函数的极(最)值、极(最)值点;(3)利用性质研究方程(不等式).考查数学运算、逻辑推理、直观想象等数学核心素养.

2.本题求解的关键是明确函数的极值点与函数零点之间的联系,充分运用函数的单调性、极值、零点存在定理综合求解,善于把函数的零点转化为方程根的问题.