三角函数专题

考点二：同角三角函数的关系【内容解读】同角三角函数的关系有平方关系和商数关系，用同角三角函数定义反复证明强化记忆，在解题时要注意sin??cos??1，这是一个隐含条件，在解题时要经常能想到它。利用同角的三角函数关系求解时，注意角所在象限，看是否需要分类讨论。

【命题规律】在高考中，同角的三角函数的关系，一般以选择题和填空题为主，结合坐标系分类讨论是关键。

例3、（2007全国卷1理1）?是第四象限角，tan???A．

225，则sin??（ ） 121 5B．?1 5C．

5 13D．?5 135?sin???5?解：由tan???，所以，有?cos?，?是第四象限角， 1212?sin2??cos2??1?解得：sin???5 13sin?，同样要cos?点评：由正切值求正弦值或余弦值，用到同角三角函数公式：tan??能想到隐含条件：sin??cos??1。

22考点三： 诱导公式 【内容解读】诱导公式用角度和弧度制表示都成立，记忆方法可以概括为“奇变偶不变，符号看象限”，“变”与“不变”是相对于对偶关系的函数而言的，sinα与cosα对偶，“奇”、

??+α的整数k来讲的，象限指k?+α中，将α看作锐角时，22?3??k?+α所在象限，如将cos(+α)写成cos（3?+α），因为3是奇数，则“cos”

2223?3?3?变为对偶函数符号“sin”，又+α看作第四象限角，cos(+α)为“+”，所以有cos(+

222“偶”是对诱导公式中k?α)=sinα。

【命题规律】诱导公式的考查，一般是填空题或选择题，有时会计算特殊角的三角函数值，也有些大题用到诱导公式。

例4、（2008浙江文）若sin(3??)?,则cos2?? . 25?333272解：由sin(??)?可知，cos??；而cos2??2cos??1?2?()?1??。

255525?点评：本小题主要考查诱导公式及二倍角公式的应用，难度不算大，属基础题，熟练掌

握公式就能求解。

考点四：三角函数的图象和性质

【内容解读】理解正、余弦函数在]0，2π]，正切函数在（-

??，）的性质，如单调22性、最大值与最小值、周期性，图象与x轴的交点，会用五点法画函数y?Asin(?x??)，x?R的图象，并理解它的性质：

（１）函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的最大值与最小值间的距离为其函数的半个周期；

（２）函数图象与x轴的交点是其对称中心，相邻两对称中心间的距离也是其函数的半个周期；

1个周期。 4注意函数图象平移的规律，是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移。

【命题规律】主要考查三角函数的周期性、单调性、有界性、图象的平移等 ，以选择题、解答题为主，难度以容易题、中档题为主。

（３）函数取最值的点与相邻的与x轴的交点间的距离为其函数的

5?2?2?，b?cos，c?tan，则（ ） 777A．a?b?c B．a?c?b C．b?c?a D．b?a?c

2??2??2?2?2??，所以0?cos?sin?1?tan解：a?sin，因为?，选D．

7472777例5、(2008天津文)设a?sin点评：掌握正弦函数与余弦函数在［0，

???］，［， ］的大小的比较，画出它们的442图象，从图象上能比较它们的大小，另外正余弦函数的值域：［0,1］，也要掌握。

三角函数平移与向量平移的综合

三角函数与平面向量中都涉及到平移问题，虽然平移在两个知识系统中讲法不尽相同，但它们实质是一样的，它们都统一于同一坐标系的变化前后的两个图象中.解答平移问题主要注意两个方面的确定：(1)平移的方向；(2)平移的单位.这两个方面就是体现为在平移过程中对应的向量坐标.

?

【例1】 把函数y＝sin2x的图象按向量→a＝(－，－3)平移后，得到函数y＝Asin(ωx

6?

＋?)(A＞0，ω＞0，|?|＝)的图象，则?和B的值依次为

2

?

A．，－3

12

?B．，3

3

?

C．，－3

3

?

?D．－，3

12

（ ）

?? x＝x?＋

6，再代入已知解析式可得.还可以【分析】 根据向量的坐标确定平行公式为? ?? y＝y?＋3

由向量的坐标得图象的两个平移过程，由此确定平移后的函数解析式，经对照即可作出选择.

??? x?＝x－? x＝x?＋

6，即? 6，代入y＝sin2x得y?【解析1】 由平移向量知向量平移公式? ? y?＝y－3? y＝y?＋3????π??

＋3＝sin2(x?＋)，即到y＝sin(2x＋)－3，由此知?＝，B＝－3，故选C.

633

?

【解析2】 由向量→a＝(－，－3)，知图象平移的两个过程，即将原函数的图象整体

6

??

向左平移个单位，再向下平移3个单位，由此可得函数的图象为y＝sin2(x＋)－3，即y

66π?

＝sin(2x＋)－3，由此知?＝，B＝－3，故选C.

33

【点评】 此类题型将三角函数平移与向量平移有机地结合在一起，主要考查分析问题、解决问题的综合应用能力，同时考查方程的思想及转化的思想.本题解答的关键，也是易出错的地方是确定平移的方向及平移的大小.

考点五：三角恒等变换

【内容解读】经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；；能从两角差的余弦公式，导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系，公式之间的规律，能用上述的公式进行简单的恒等变换；注意三角恒等变换与其它知识的联系，如函数的周期性，三角函数与向量等内容。

【命题规律】主要考查三角函数的化简、求值、恒等变换。题型主、客观题均有，近几年常有一道解答题，难度不大，属中档题。

例9、（2008惠州三模）已知函数f(x)??3sin2x?sinxcosx （I）求函数f(x)的最小正周期； （II）求函数f(x)在x??0,解：f(x)??3sin2x?sinxcosx??3????的值域. ?2??1?cos2x1?sin2x 22 ?2?133?3?? sin2x?cos2x? ?sin(2x?)? （I）T?222232 （II）∴0?x??2 ∴

?3?2x??3?4?3??sin(2x?)?1 ∴ ?323?2?3? 所以f(x)的值域为：??3,?

2??点评：本题考查三角恒等变换，三角函数图象的性质，注意掌握在给定范围内，三角函数值域的求法。

考点六：解三角形

【内容解读】掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题，能够运

用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的问题。

解三角形时，要灵活运用已知条件，根据正、余弦定理，列出方程，进而求解，最后还要检验是否符合题意。

【命题规律】本节是高考必考内容，重点为正余弦定理及三角形面积公式，考题灵活多样，近几年经常以解答题的形式来考查，若以解决实际问题为背景的试题，有一定的难度。

例11、（2008广东五校联考）在⊿ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且

tanA?1310 ,cosB?210310?0,?B锐角, 10sinB110?, ,?tanB?cosB310（1）求tanC的值; （2）若⊿ABC最长的边为1，求b。 解：（1）

cosB?且sinB?1?cosB?211?tanA?tanB?tanC?tan???(A?B)???tan(A?B)????23??1

111?tanA?tanB1??23(2)由(1)知C为钝角, C是最大角,最大边为c=1,

tanC??1,?C?135?,?sinC?2, 21?1010?5。

522由正弦定理:

csinBbc??得b?sinBsinCsinC

点评：本题考查同角三角函数公式，两角和的正切，正弦定理等内容，综合考查了三角函数的知识。在做练习，训练时要注意加强知识间的联系。

四、复习备考策略

1.三角函数恒等变形的基本策略。

（1）注意隐含条件的应用：1＝cos2x＋sin2x。 （2）角的配凑。α＝（α＋β）－β，β＝

???2－

???2等。

（3）升幂与降幂。主要用2倍角的余弦。 （4）化弦（切）法，用正弦定理或余弦定理。

（5）引入辅助角。asinθ＋bcosθ＝a2?b2sin(θ＋?)，这里辅助角?所在象限由a、b的符号确定，?角的值由tan?＝2.证明三角等式的思路和方法。

（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。

b确定。 a